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积分∫[0, +∞] sin(x²)dx 收敛吗? 第1页

  

user avatar   myaries10000 网友的相关建议: 
      

既然已有人用留数算了这个积分,那我就来个更“炫技”的推广

计算积分:

其中

令 ,构造扇形围道:

由于围道内无奇点,所以:

而:

令 ,则 式变为:

即:

所以:


当 时,

便是著名的菲涅尔(Fresnel)积分。


另一种解法参见 @一苇之所如 大佬的文章:


user avatar   tetradecane 网友的相关建议: 
      

这是菲涅耳(Fresnel)积分。我来个“炫技”的求解,使用留数定理。

记 ,规定路径如下:

这里 与我们待求的积分密切相关。

当半径 时,由约当(Jordan)引理知 .

第三段倾角为 ,积分为

其中泊松(Poisson)积分的推理如下:

(直角坐标化为极坐标)

那么

由留数定理知

,顺便得到了 .


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

这个叫Fresnel积分。我看到的书上的做法是一个看似震撼我妈但是其实是有背景(参见予一人大佬的回答)的做法。

首先是常规操作,令 ,则 。

我们知道 。对此做点变量替换得到 。从而有

(至于为什么积分号可以交换。。。懒得写了2333)




  

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