我从直观的一种角度来回答吧。。
一般来说,有理函数都是可以写出初等形式的积分的(虽然会很复杂,但是可以写的出)。一般 上的有理式一般是可以分解成 乘积是有限项)。
然后,就可以拆分成形如 形式的线性组合。(因为它们都有原函数,从而,依照积分的线性组合可以得出结论)
当积分中都是有理式的时候,那是很好的。但是如果出现了根号了,那就不是很好处理了。
譬如说第一张图的题,被积函数是 积分区域是 的区间。
考虑对其进行“有理化”的操作,即 那么,被积函数相当于平面上的一条曲线做积分(原先是在实数轴上)
目前我们有很好的几何模型了,下一步就是,能否找到一条直线到 曲线的有理映射。
因为是二次曲线,所以是可以的。因为对于任意一条二次曲线 随意取该曲线上一点 ,然后过该店做二次曲线的切割线,斜率为自由变量,即 带入二次曲线的方程,仅考虑二次和一次项,则有
由Vieta公式,则方程的两个根之和等于 其中一个根由假设 ,另一个根就是二次曲线上的点 ,于是有
同理, 可以由直线方程得到关于 的表达。于是,就存在两个关于k的有理函数
举个例子,譬如说圆的方程 ,它对应的双有理映射就是
对于刚才讨论的问题,对应的双有理就可以是 然后带入原积分就是有理积分了,从而能求出解。
当然,也有三角函数的代换,其实本质上是一回事,如图:
可以思考一下,绿线的斜率与蓝色弧所表示的夹角的三角函数有什么关系??
当然,要是换成了三次曲线,就不一定存在双有理了(甚至解析同胚都木有了),就比如 。当然,要是出现了一些奇点就另说了。。。。。
上述所提到的一些操作和思路来源于沙法列维奇的代数几何(都是一些古典的数学技巧了。。。。