为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
温馨提示：多视频回答，小心流量不够.
原方程是
把参数视为 轴，画出方程在三维空间的曲面图. 我们给出曲面方程：
从微分几何的角度，原问题等价于证明曲面在点 处是圆点，即该点的两个主曲率相等 .
我们需要计算曲面的第一、第二基本形式. 计算比较复杂，我直接给出计算结果：
容易算出第一基本形式
第二基本
于是得到该点的平均曲率、高斯曲率
于是由主曲率公式
而 ，所以
这说明在点 处是圆点.
圆点意味着什么呢？该点的近似曲面为
这是一个旋转抛物面，其水平截线当然是圆. 原曲面和近似曲面在这一点处的水平截面闭曲线趋于点 时，两者充分靠近. 这也就是为什么当 时，闭曲线会趋于圆.
1
相关话题
为什么将 x²＋y²＝1 中 x 和 y 的指数换成大偶数，其图像会接近一个正方形？《隐秘的角落》这道解析几何有哪些比较好的解法？
f(x)=sin(x), x∈[0, π/2] 是不是某个椭圆的一部分？
如何证明半径为 a 的圆内的一条闭曲线必有一点点曲率大于 1/a？
极坐标中形如ρ=acosθ+bsinθ+c的是什么图形？
有没有详细介绍圆锥曲线的极点与极线以及交比的书（不用矩阵）？
《隐秘的角落》这道解析几何有哪些比较好的解法？
知道三个点的坐标，如何求过这三点的圆的方程？
y=x-1/x的图像是不是双曲线？如果是那么离心率和焦点怎么求？（一个高三学生的疑问）？
为什么2sinα×cos2α=sin2α×cos2α？
前一个讨论
假如我会龟派气功波，我能为国家做些什么？
下一个讨论
如何确立自洽的价值体系？
相关的话题
三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？f(x)=sin(x), x∈[0, π/2] 是不是某个椭圆的一部分？
立体几何比平面几何难吗？
为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆？
为什么将 x²＋y²＝1 中 x 和 y 的指数换成大偶数，其图像会接近一个正方形？
有没有详细介绍圆锥曲线的极点与极线以及交比的书（不用矩阵）？
任意给一闭合光滑平面曲线，该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零？
如何求圆周上随机 n 点构成的 n 边凸包的平均面积？
有没有详细介绍圆锥曲线的极点与极线以及交比的书（不用矩阵）？
怎样理解平面向量的数量积是一个实数呢？方向乘方向怎么会有意义？
为什么圆锥曲线的二级结论那么多而其他章节的就相对要少？
五点共圆几何问题中有什么拍案叫绝的巧合？
圆锥的体积应该怎么推导？
能将三角形面积分为两块面积比值是 k 的所有直线形成的包络线是什么样的？
f(x)=sin(x), x∈[0, π/2] 是不是某个椭圆的一部分？
割圆术就算割了∞次，它和真实面积也相差很小一部分，怎么就说它就可以等于真实面积？
Riesz引理的直观理解或者是几何意义是什么?
在区间【0,π/2】上，曲线y=sinx与直线x=π/2，y=0所围成的图形，绕y轴旋转的旋转体体积？
为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆？
想问一下这种椭圆柱面在第一卦限的体积怎么算?
f(x)=sin(x), x∈[0, π/2] 是不是某个椭圆的一部分？
一个点到两个定点的距离乘积为定值，这个点的轨迹是什么？
给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？
为何向量没有除法运算？
轴对称图形只能看出来么，不能证明么？
极坐标中形如ρ=acosθ+bsinθ+c的是什么图形？
有哪些用偏几何的方法来得到代数问题的优美解答的例子？
如何证明这道有关叉乘的解析几何题？
任意给一闭合光滑平面曲线，该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零？
曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？