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为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆? 第1页

  

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原方程是

把参数视为 轴,画出方程在三维空间的曲面图. 我们给出曲面方程:

从微分几何的角度,原问题等价于证明曲面在点 处是圆点,即该点的两个主曲率相等 .

我们需要计算曲面的第一、第二基本形式. 计算比较复杂,我直接给出计算结果:

容易算出第一基本形式

第二基本

于是得到该点的平均曲率、高斯曲率

于是由主曲率公式

而 ,所以

这说明在点 处是圆点.


圆点意味着什么呢?该点的近似曲面为

这是一个旋转抛物面,其水平截线当然是圆. 原曲面和近似曲面在这一点处的水平截面闭曲线趋于点 时,两者充分靠近. 这也就是为什么当 时,闭曲线会趋于圆.




  

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