为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆？ 第1页
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原方程是
把参数视为 轴，画出方程在三维空间的曲面图. 我们给出曲面方程：
从微分几何的角度，原问题等价于证明曲面在点 处是圆点，即该点的两个主曲率相等 .
我们需要计算曲面的第一、第二基本形式. 计算比较复杂，我直接给出计算结果：
容易算出第一基本形式
第二基本
于是得到该点的平均曲率、高斯曲率
于是由主曲率公式
而 ，所以
这说明在点 处是圆点.
圆点意味着什么呢？该点的近似曲面为
这是一个旋转抛物面，其水平截线当然是圆. 原曲面和近似曲面在这一点处的水平截面闭曲线趋于点 时，两者充分靠近. 这也就是为什么当 时，闭曲线会趋于圆.
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