怎样求空间中直线绕轴旋转的方程？ 第1页

就当是复习复习《解析几何》了~

PART(Ⅰ)

定义1：在空间，一条曲线 绕着定直线 旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回旋曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 叫做旋转曲面的旋转轴，简称轴.

旋转曲面 的母线上的任意一点 在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过点 且垂直于轴 的平面与旋转曲面的交线，我们把它叫做纬圆或称纬线. 在旋转轴 的平面上，以 为界的每个半平面都与曲面交成一条曲线，这些曲线在旋转中都可以彼此重合，这曲线叫做旋转面的经线.

PART(Ⅱ)

现在我们来求旋转曲面的方程：

在空间直角坐标系中，设旋转曲面的母线为：

旋转轴为直线 ，该直线经过定点 ,直线的方向向量为 .

设 为母线上的任意一点，那么过 的纬圆可以看成是过 且垂直于旋转轴 的平面与以 为圆心， 为半径的球的交线，所以过 的纬圆方程为：

当 遍历整个母线 时，就能得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.

又因为 在母线上，所以又有：

从 四个等式消去参数 最后可以得到一个三元方程：

这就是所求的旋转曲面的方程.

PART(Ⅲ)

至于题主问到的“如何求空间中直线绕轴旋转的方程”，即：将 PART(Ⅱ) 中母线 改写为直线方程即可，是一种更特殊的情况，就酱.