有没有一个数可以既是完美数又是完全平方数？ 第1页

其实这个问题并不难回答，一个数不可能既是完全数又是平方数， 原因如下：

首先，对于偶完全数我们有

定理 1： 是一个偶完全数当且仅当 其中 为素数.

证明：设 ，其中 为素数，则我们有

从而可知 为偶完全数. 反之，设 为偶完全数，则 可以写成 ，其中 为奇数. 由于 与 互素，从而有

由于 ，则由上式可知

即 为 的真因子. 而 又为 的真因子之和，故必有 . 从而可得 为素数，且

由 定理 1 可知偶完全数不可能为平方数. 而对于奇完全数，我们又有

定理 2：若 是奇完全数，则 ，其中 为奇素数， 和 为奇数，且满足 ，.

证明：设 的素因子分解为

由于 为完全数，故有

因为

从而 与 的奇偶性互异. 由 为奇数知 ，故 ， ， ， 中只能有一个为奇数. 不妨设 为奇数，若 ，则有 ，而

故有 ，这与 矛盾，从而有 . 若 则我们又有

从而也有 ，但这还是与 矛盾，故有 . 现令 ， ，则我们有 ， 为奇素数， 和 为奇数，且 ，.

由 定理 2 可知奇完全数也不可能为平方数.

上述关于完全数的两个漂亮且重要的结论都是数学家 Euler 给出的，在此向数学大师致敬！