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请问这个积分正确吗,如果是的话该如何得到呢? 第1页

  

user avatar   you-xiao-mei-jiu-57 网友的相关建议: 
      

又是这个可爱的小朋友邀请我,真是盛情难却啊(划掉)

好久不见,是我,美⑨

=======我是一条分割线=======

先说结论,这个式子是正确的(鼓掌)

(感觉这篇回答可能会成为我的第一个贝塞尔函数的介绍帖)

第一类贝塞尔函数(Bessel function) : 是如下方程的解

其中 被称作方程的阶,可以是任何实数或者复数

这个方程有两个奇点, 是正则奇点, 是非正则奇点。

由于微分方程方面的内容和本题有点关系,所以打算简单讲讲。

=========我是第二条分割线==========

本来是打算写在回答里的,但是似乎太长,而且可以水一篇文章 (划掉

然后就放在文章里了,文章链接

作代换 , 得到了之前我们在文章里讨论的那类方程


得到积分解的形式是


我们可以把 化成



其中 是任意常数, 积分路线应使


于是,我们得到了贝塞尔方程的积分形式解


其中路径 取 到 的直线段,因为路线的端点上 , 此围道可行.

关于常数 , 我们知道 , 当 , 把 作级数展开比对系数易得



所以得出


然后令 , 我们得到

右半边积分从0裂开来

把2移过去

得到一个同样很常用的积分式子

类似的,我们能得到正弦的形式

接下来就和 罗旻杰 的回答一样了

顺便来点补充的吧

在 中令

我们得到

简单化简一下,我们就可以得到一个更有名的式子


这个形式被称作贝塞尔函数的泊松(Poisson)积分表达式




  

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