A 和 B 在 100 × 100 的平面空间内移动，两种情况下哪一种相遇的概率更大？ 第1页

先说结论：

1. 不考虑时间，相遇概率都是100%
2. 考虑时间，一起走可以更快相遇。

第一眼看这个问题，感觉……这不就是随机过程吗！马尔可夫链，鞅，脑子里一顿折腾。该忘的都还给老师了，不过还记得无限空间的一维和二维随机游走，时间足够长，回到初始位置的概率都是100%。比较经典的是那个小鸟／醉汉回家的问题，我不是做数学的，就不多说了。

题目中只是个100x100的有限空间，那到达任意一点的概率都是100%啊。且由于AB在对角线，双方处于“同色格” (感谢评论区知友的补充)，所以：

两种情况相遇的概率都是100%

那么问题来了？哪个相遇得更快呢？一时给不出求证的解析结果[捂脸]，那就暴力模拟一下吧：

100X100空间内，有边界的随机游走。嗯，先让A从起点(0,0)开始走两步：

再让B也一起，从它的起点(99,99)开始走两步：

好了，弄个while循环，输出两种情况相遇时所耗费的时间／步数。模拟5000次，然后做个柱形分布图看一看：

不错，看来AB一起走的时候，相遇所需耗费的时间/步数，均值差不多是A独走的五分之一。5000次模拟结果一一对比的话，有87.2%的概率，一起走的耗时小于单独走。所以：

第二种情况(AB一起走)相遇得更快。

那AB一起运动的时候，相遇点的分布如何呢？为了满足好奇心，我接着暴力模拟了50000次，得出了AB相遇点在100x100平面中的分布，如下所示：

嗯，相对集中于中心区域，不过并没有我想象中那么集中，有趣。

评论区中的知友 @Monsieur TRISTE @两仪式 的讨论也很有趣，提到了另一种情况：AB初始位置是“非同色格”，则当他们同时移动时，永远无法相遇：

如上图左侧所示，当AB初始在对角线时，皆为棋盘黑格内，下一秒同时移动后(按照题目，只能上下左右移动一格，无法斜向移动)，则都处于白格。然而，如果AB初始位置为“非同色格”，如上图右侧的情况，那么AB同时移动的话，将会永远处于“非同色格”，也就永远无法处于同一格内。

无数次擦肩而过，却终不能共处一室，想想还蛮伤感的[捂脸]。非常感谢这两位知友的评论！

二维随机游走是常返的，这意味着只要时间足够，随机游动的A会遍历空间内的每一个点。因此不管B动不动，二者相遇的概率都是100%.

但B如果移动的话，会加快与A相遇的速度。

我提供一个简单的理解吧，假设A、B每次移动的位移矢量为 和 。

但如果我们把B当作参考系，A每次的位移就变成了 。由于随机游走往前往后的概率都是一样的，正负号没有任何影响，因此A每次的位移可以看成 。

也就是说，以B为参考系，在情形2中（A和B同时做无规则运动），A相当于每次都随机游动了两步。在其他条件不变的情况下，这显然会加快二者相遇的速度。