直接把sin,cos定义为某微分方程的两个特解,则问题的回答就是: 显然。
或者将二者定义为虚指数的虚实部,且虚指数用级数定义。则问题的回答是:显然。
对级数逐项求导,则上述两种定义的等价性是显然的。
以上为理解正余弦(乃至一般三角函数)的最佳出发点。
不幸的是,很多人用三角形来定义三角函数,这是严重过时的和极为笨拙的。由此无端制造出一些本可以避免的困惑,比如sin求导为什么是cos, 三角函数的和差公式为何是这样,如何理解欧拉公式,或者函数为什么可以用三角函数展开等等。
难道三角函数不该用三角形定义吗?不该。
那为什么中学数学教科书使用三角形定义三角函数?因为教科书没编写好,这是全人类的大损失大悲哀。我再展开多说几句。世界各国中学数学教学格局基本源自19世纪后期20世界初期的欧洲,那时候第二次工业革命促使欧洲开始普及全民中等教育,包括初等数学教育。这里面就有三角学和三角函数知识。那时候基于傅里叶分析的信息处理还不是那么重要,另一方面我怀疑大航海或者炮兵计算对三角学的强调影响很大,因此编写教科书用三角形定义三角函数并教授如何使用三角函数来解三角形。然而时过境迁,现如今如果你在实践中需要使用三角函数,十有八九和傅里叶分析(用于信息处理)有关,绝大多数时候和解三角形无关,因此本文开头的定义才是最佳出发点。可叹的是,大航海时代定下的教法至今还在拖信息时代人才培养的后腿,这就是我所谓人类的大损失大悲哀。
那么如何改教科书?多学复数,引入级数定义的虚指数,然后定义正余弦。定义级数只需要直观的极限观念,反正中学也会涉及一点点。通过复数几何意义介绍正余弦与角度关系。三角形方面的应用作为选读内容。
此外,应该直接废除三角函数这一名称,确保学生摆脱对三角形的心理依赖。将三角函数改名为“谐函数”。sin叫做奇谐函数,cos叫做偶谐函数。
和 是一对恋人,满足
我们就从这个恒等式出发。
为了减小函数名字对于读者的干扰,我们换一下符号,就当我们不认识这两个函数,但是它们满足:
对 求导:
这说明两向量正交:,由解析几何的知识可知(当然从线性代数的知识也可以):
我们不妨就让 ,反正试着玩呗,于是立即就会有:
这两个函数太好玩了,求导过后互换了身体,简直就是数学版的《你的名字》……
设定初值
也就是说他们是一阶线性常微分方程组的解
注意到
我们选择的恰巧是弧长参数!
唯一性可由常微的知识可知,不妨我们就令
其实与其说我“证明”,不如说我“重新定义”了正、余弦函数。通过微分方程的角度去理解正、余弦函数虽然不是很初等,但是追根溯源的话,这也是欧拉引入弧长参数时所考虑的因素,为了数学的简洁、美观。(这么一想觉得欧拉在大气层~)
甲:这也在你的计算中吗,JoJo!!!
乙:欧拉欧拉欧拉欧拉……
顺便说一下,如果第二个方程求导没有负号,那么这个方程的解就是大名鼎鼎的双曲正、余弦函数:
讲个简单直观的思路,正弦的函数图像会画吧,导数的几何意义是曲线某点处切线的斜率。
你再看看sinX的图像,它每一点处切线的斜率是什么?斜率其实就是tanα(图像切线角度的正切值),平行于x轴的图像切线的斜率为零,45度角的切线的斜率为1......
再把每个点斜率的坐标连起来,看看是个什么图像?
我们也可以从物理意义上来理解正弦和余弦,一个单摆的左右振动,就就可以描述成正弦图像,从初始状态开始,单摆从一侧开始下落,初始速度为0,加速度最大为a,摆到中间位置时,速度达到最大值v,加速度为0;继续向右摆,达到最高点,速度回到0,加速度最大为a,周而复始,周期为2π。
如果正弦是速度v,余弦就是加速度a,速度为0的时候,加速度最大,速度最大的时候 ,加速度为0,对速度求导,就会得到加速度。
v=Δy/Δt=sint;a=Δy²/Δt=cost。
我支持。因为匿名是网络环境差的万恶之源。
知乎做得好。与此同时,头条和抖音也上线了IP属地。
根据 @新浪财经 报道:
据悉,今日头条、抖音展示的帐号IP属地均为用户最近一个月内最后一次发文或评论时的网络位置,境内展示到省(直辖市、自治区、特别行政区),境外展示到国家(地区)。而且帐号IP属地以运营商提供信息为准,相关展示不支持手动开启或关闭。
在公告中,今日头条和抖音均提出,展示账号IP属地是为了维护真实有序的讨论氛围,减少冒充热点事件当事人、恶意造谣、蹭流量等不良行为。快手则表示是为了防止部分网友在热点事件中出现蹭流量、传播不实信息、冒充当事人等干扰正常讨论的行为。
实际上,在字节跳动和快手的产品上线该功能之前,微博已经于今年3月先行一步。3月17日,微博官方账号称,因发现个别冒充当地网友发布和传播不实信息的行为,微博将上线“用户个人资料页展示近期发帖所在地”的功能。
据悉,微博也是在个人主页中展示用户最近一个月内最后一次发布微博或评论的IP归属地,而且IP归属地显示规则与评论区此前显示规则保持一致,国内显示到省份/地区,国外显示到国家。
2、
几乎所有的网红产品,都是利用人性的七宗罪所达到的。
而匿名就是网络环境的万恶之源。
匿名,意味着一个人不需要对自己的言行负责,无论你是咒骂那个普通人去死,还是问候他的十八代祖宗。
在网络平台上,我们看过了太多这种悲剧。
为什么女权的“权”会被污名化成“拳头”的拳?
我个人是支持女权的。但是里面有人在故意把水搅浑。
为什么有人被人肉和网暴?
因为在屏幕面前可怕的那个他,不需要承担任何责任。甚至很多明星粉丝对普通人群起而攻之,所倚仗的,不过如此。
为什么微信上的环境要比微博等好得多?
因为微信是实名化的。喷他,意味着他可能能找到你的真实身份,如果他想的话。
当然,做人是需要互联网树洞的。在BBS这种场景下,所有人都可以匿名化。
而在如微博等社交平台上,我支持全面实名化。
但愿天下不再有网络暴力。
这是我看到的最准确的总结。
总的来说,就是中国的高考相对公平,所以性价比极高,所以其他活动都可以适当让步。