如何计算此多重积分不等式？ 第1页

第一步, 可以把 重积分化成一重定积分. 方法是做换元

那么,

所以, , 并且,

接下来, 依此把 积掉. 注意到

所以,

令 . 则,

我实际的想法是这样的, 这个实际上是一个 随机变量 的函数的期望

, 其中, . 如果我们令 , 那么, . 注意到这里 是单调递减的, 如果我们能证明 在随机占优的意义下大于 , 那么, . (随机占优指的是分布函数的图像一个位于另一个上面. 通过分部积分, 可以把 写成 乘以分布函数的积分. 利用积分的单调性, 可以看到这个结果.) 而 的分布函数可以借用不完全伽马函数和Lambert W-函数表达. 利用不完全伽马函数的性质可以看到所需的单调性, 从而得证. 在上述意义上, 如果把 中的 换成 , 其中, 是 上的连续严格单调函数. 那么, 应该依然有 成立. 而 也成立, 这是因为 和 同分布. 最后的极限 是控制收敛定理的结果.

下面是一些细节:

注意到 在 上严格单调递增, 严格单调递减. 所以, 我们把上述积分拆成两份:

考虑 . 做分部积分得到,

其中, 不完全伽马函数 考虑下面这个方程

这个方程的解称为Lambert W-(多值)函数. 有两个分支, 和 . 其中, 是主要分支, 对应于 的解; 对应 的解.

注意到 , 所以, , . 现在, 我们令 . 那么,

类似的, 使用 , 可以得到

所以,

通过分部积分, 可知不完全伽马函数的递推公式:

所以,

而根据Lambert函数的定义, 所以, 上式等于

令 则,

最后, 对于 , . 对于 , . 从而, .

最后, 对正实数 也是有定义的. 并且可以证明, 对于 , 是严格单调的.

下面说明这一点.

根据上面的推理, 只需要验证下面这个结果: 对于 ,

对于 是严格单调下降的. 这个可以借助概率如下说明(当然把概率翻译成对应的积分也可以等价的给出证明):

令 .

考虑 是服从伽马分步 的随机变量. 那么,

.

只需要对 , 验证

.

令 是服从伽马分布 的随机变量. 假设 两者独立. 那么, 根据伽马分布的可加性, 服从伽马分布 . 只需验证, 对于 ,

.

利用 的独立性和Fubini定理, 只需验证:

定义 通过将上述概率写成积分再求导, 可知:

注意到 且 . 不难知道 且 . 所以, . 所以, 严格单调减. 故, . 证毕.