除了Weierstrass函数，还有哪些处处连续处处不可导的实变函数的具体例子？ 第1页

简单说说一个很初等的例子：

考虑整数 以及实数 ，可表示 进制小数 即 ，其中 （记作 式）。

定义二进制小数 即 ，其中 （记作 式）。

当 时， 或 ，可知，

由 式和上式所构造的方法定义的函数 是唯一确定的，即使一些 有两种 进制小数表示。现在考虑 的两种 进制小数表示：

由于 的值依赖于 的前 位小数，有 的值：

接着，我们来看函数连续且处处不可导的具体证明：

1. 是连续函数

设 ，且 与 分别由 式和 式表示，约定：若 有两种 进制小数表示，则 式取从某位起 恒为零的形式。

对于 ，取正整数 充分大，使得 ，令 ，则当 时， 。

令 即 为二进制小数，由于 仅依赖于上式的前 位小数，有 ，所以 即 在 处的右边连续。

同理， 在 处的左边连续，则 连续。

2. 当 时， 处处不可导

设 与 分别由 式和 式表示，取 ，设其 进制小数表示为 （记作 式）。

若 ，则取 ；

若 ，则取 ；

若 ，则取 ；

若 ，则取 。

当 时， 取任意值。设 为二进制小数，则根据定义有 ，则有

由 式和 式得出 ，则由上两式可得

所以，当 时， 即 不存在有限的导数，

亦即 为处处不可导的连续函数。

上述相关内容对实分析有很大的影响，除此之外，题主还可以关注一下概率论的分支随机过程论，这个领域专门研究处处不可导的函数。对这种函数的研究，在现实中也有很多应用，比如物理方面，几乎所有的布朗运动轨迹都是处处不可导的连续函数。另外，很多分形也是这种函数。

以上

范德瓦尔登函数。

以下照片摄于《卓里奇数学分析》。

(题主需不需要证明？要的话我就写一个；不过好麻烦Ծ‸Ծ)

现在来证明范德瓦尔登函数的处处连续处处不可导特性。

首先，有 ,从而 .故由M判别准则知函数项级数 在 上一致收敛。由一致收敛的性质可知 在 上连续。

下面处处不可导的证明将借助些许几何直观，但是完全可以转化为纯代数(分析)的证明。证明思路是，找一个数列使得导数对应的极限不存在。

每一个函数 都是周期重复的斜率为 的折线，在 处有一尖点(最大值点)。

对任意 ，可以构造一个数列 ，使得 ，(正负号在后面决定)。我们考虑极限

由定义知 的周期为 。故当 时，有 。从而上式就等于 。可以调节 中的正负号，使得点 与 在同一条折线段上(因为 的每一条折线段在 轴上的投影长是 )。显而易见，这对任意的 都成立。

则

其中 。这个级数当然是发散的。由海涅定理知极限 不存在，即在任意的 处不可导。问题得证。

PS：这比魏尔斯特拉斯的那个证明起来简单多了～

(手机用公式功能相当麻烦，要把浏览器的UA设为电脑，而且屏幕太小了，有些本来可以直接点击的东西必须敲代码。。。)