题目(丁, 2.2/5题) 设微分方程
其中 在 的某邻域(例如区间 )内连续, 在所考虑的区间连续,而且 则在直线 上的每一点,方程(1)的解都是局部唯一的,当且仅当瑕积分
证明:“ ”: 设 其中 都是待定的数. 显然 就是(1)的解. 假设(1)有另一个不同的解 . 不妨设 (根据这样设是合理的). 取 使得 考虑
则 可微,且
根据可知 在区间 内是单射. 改写(2)式为 , 对(2)式在区间 上积分,可得
(3)式右边小于正无穷是因为 连续. 因此对(3)式左边换元 (注意这里 是这个区间内的单射, 所以才可以这样换元). 那么 与条件矛盾.
“ ”: 没想好
【参考】Osgood定理. 见@inversioner 的