请问这个极限加上变限积分这种怎么计算? 第1页
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catakao-yan 网友的相关建议:
先写一下答案吧，结果是ln2，题目像是有背景的，裴礼文的4.3.9是和本题类似但只有一个弱形式的不等式 （《数学分析中的典型问题与方法》4.3.9）,此外，在傅里叶级数的收敛性讨论中，也会得到一个与本题类似的副产品： （《阶的估计基础》P56）,当然，这并不能使我们很兴奋，因为这两个看似相像，证明过程却不相像。
证明源自mse的解答，简要介绍下吧：主要利用了以下等式： 其中
我们先考虑积分 ,换元之后，得到，
利用以上不等式，得到
因此，我们得到估计
带入原式子即可。
详见mse的链接
inversioner 网友的相关建议:
设原式为 。使用Stolz定理：
然后由一些三角变换可得：
所以再次使用Stolz定理：
由Lebesgue控制收敛定理，得
。
最后一步用到著名的Frullani 积分。
yu-shu-23-48-4 网友的相关建议:
三角暴力预警！！！
长文预警！！！
因为其他答主都给出了简洁的做法，所以本菜鸡就反其道而行之，用最暴力的方法解题。下面是最最最暴力的一种做法，题主还有各位乎友们酌情食用。。。
预备公式
1.三角函数：
取 ，得
取 ，得
利用二倍角公式变形后有
2.数列求和
综合（5），（6）可得
3.积分
4.其他
一个前奏
综合（2）和（4）我们可以得到
也就是
同样的，利用二倍角公式也可得到
于是，由（10），（11）
即
高潮
其中
所以有
(根据（9）)其中
对于 ，仅需注意到
对于 ，由于
所以
由于
所以
于是
对 ，考虑
易知 （ ）
由Stolz定理，
类似的可得
于是
因而
END终章
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