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请问这个极限加上变限积分这种怎么计算? 第1页

catakao-yan 网友的相关建议:

先写一下答案吧，结果是ln2，题目像是有背景的，裴礼文的4.3.9是和本题类似但只有一个弱形式的不等式（《数学分析中的典型问题与方法》4.3.9）,此外，在傅里叶级数的收敛性讨论中，也会得到一个与本题类似的副产品：（《阶的估计基础》P56）,当然，这并不能使我们很兴奋，因为这两个看似相像，证明过程却不相像。

证明源自mse的解答，简要介绍下吧：主要利用了以下等式：其中

我们先考虑积分 ,换元之后，得到，

利用以上不等式，得到

因此，我们得到估计

带入原式子即可。

详见mse的链接

inversioner 网友的相关建议:

设原式为。使用Stolz定理：

然后由一些三角变换可得：

所以再次使用Stolz定理：

由Lebesgue控制收敛定理，得

。

最后一步用到著名的Frullani 积分。

yu-shu-23-48-4 网友的相关建议:

三角暴力预警！！！

长文预警！！！

因为其他答主都给出了简洁的做法，所以本菜鸡就反其道而行之，用最暴力的方法解题。下面是最最最暴力的一种做法，题主还有各位乎友们酌情食用。。。

预备公式

1.三角函数：

取，得

利用二倍角公式变形后有

2.数列求和

综合（5），（6）可得

3.积分

4.其他

一个前奏

综合（2）和（4）我们可以得到

也就是

同样的，利用二倍角公式也可得到

于是，由（10），（11）

即

高潮

其中

所以有

(根据（9）)其中

对于，仅需注意到

对于，由于

所以

由于

所以

于是

对，考虑

易知（）

由Stolz定理，

类似的可得

于是

因而

END终章

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