想问下大神连续函数不一定有界的证明? 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
连续函数闭区间有界的证明，如果换成开区间，不能直接用图1的定理。因为图1中条件（1）说明 必须严格大于 ， 必须严格小于 。这是非常关键的。而如果还想模仿图2的定理去证明，即用二分法证明，比如 上有一个连续函数，现在二分取左边一半，是 ，看见没有，此时 ，不满足图1定理的条件（1），所以不能用图1。
那你说，把图1的定理的条件（1）全部改成小于等于号“ ”，不就可以证明连续函数开区间上有界了吗？问题是，你这样一改，图1定理就错了。比如考虑开区间 ，设 且 ，显然满足修改后的条件。那么发现 ，但 不属于开区间 ，所以不存在这样的 属于开区间之交。原因就在于 不是紧集（聚点不在里面），对极限运算不封闭。那个闭区间套定理之所以成立，是因为闭区间是紧集，取极限以后肯定还落在闭区间里面。
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