连续函数闭区间有界的证明,如果换成开区间,不能直接用图1的定理。因为图1中条件(1)说明 必须严格大于 , 必须严格小于 。这是非常关键的。而如果还想模仿图2的定理去证明,即用二分法证明,比如 上有一个连续函数,现在二分取左边一半,是 ,看见没有,此时 ,不满足图1定理的条件(1),所以不能用图1。
那你说,把图1的定理的条件(1)全部改成小于等于号“ ”,不就可以证明连续函数开区间上有界了吗?问题是,你这样一改,图1定理就错了。比如考虑开区间 ,设 且 ,显然满足修改后的条件。那么发现 ,但 不属于开区间 ,所以不存在这样的 属于开区间之交。原因就在于 不是紧集(聚点不在里面),对极限运算不封闭。那个闭区间套定理之所以成立,是因为闭区间是紧集,取极限以后肯定还落在闭区间里面。