数学中的“怪兽群”是什么概念？ 第1页

只有有限个元素的群称为有限群。

群中部分元素对于原来的运算也组成一个群，叫做群的子群。

有些子群“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群。

将正规子群和商群看成群的一种分解的话，那么必定有着不能被继续分解的群，将之称为单群。

共有18个有限单群家族：

交错群A_n对于所有n>=5都是单群，从而不是可解群。

素数阶的循环群Z_p，它们也是唯一的交换单群。

还有16族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。

除了这一共18个有限单群家族之外，还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字：散在单群。

最大的散在单群——魔群（Monster Group）
“魔群”这个名字源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53个。与之相比，太阳系的原子个数也就是大约10^57个，仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话，至少需要一个196883维的线性空间，才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。

1982年，Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构，而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说，魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是，Griess代数的维度是196884，比196883多1。

如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话，那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群，却仍然是一个不可分解的单群，这本来就是个奇迹；而且与那些成系列的量产型单群不同，它的结构和对称性还是独一无二的。

在模形式理论中，有一个特殊的函数占据着相当重要的地位，它叫j不变量。它的历史也不短，各种性质已经被数学家们研究得相当透彻了，也为模形式理论的发展立下过汗马功劳。它可以干净利落地展开成如下的傅立叶级数，其中每个系数都是整数：

第二个傅立叶系数196884，正好是Griess代数的维数，也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。 j不变量的其它傅立叶系数也与魔群的所谓不可约表示的维数有着紧密的联系：这些傅立叶系数恰好可以表示成不可约表示维数的一些简单的线性组合。
在这些基础上，Conway和Norton提出了“魔群月光猜想”。 他们猜想，存在一个基于魔群的无限维代数结构，通过魔群的不可约线性表示，它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数，而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用，都自然地给出了与某个群相关的模形式。

不久，数学家们构造出了一个被称为魔群模（Monster Module）的特殊代数结构，被认为极有可能是满足魔群月光猜想的那个代数结构。要构造这个代数结构，首先要从一个名为Leech格的代数结构开始（顺带一提，这个代数结构有着特殊的对称性，可以构造出数个散在单群），构造一个24维的环面。在这个环面上的玻色弦理论，通过共形场论中的顶点算子来表达，就是魔群模。换句话说，联系着有限群论中的魔群与数论中的j不变量的魔群模，实际上是一个高维空间中的弦理论，表达的是某个高维空间中的可能的物理理论。

证明魔群模的确满足魔群月光猜想。在1992年由Brocherds完成，证明同时包含了数学和物理，其中用到了弦论中的 No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构，Brocherds也由于这个证明获得了菲尔兹奖。通过这个定理架起的桥梁，数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。