数学界为何走向抽象？ 第1页

实际上很多数学理论一开始是为了解决某个具体问题而引入的，其中或许有困难而采取了一些迂回方案，从而和原来的问题有些许区别。随着理论的发展，有些抽象理论和原本的问题越离越远，最终走不回去了，这很容易导致这个方向越走越窄，最后失去生命力。在研究多体问题稳定性的时候，庞加莱当初发现处理高阶项有困难，于是把这些项打包放在一起，抽象地记为 Hamiltonian 的高阶扰动，从而开始了近可积系统的研究。然而，扰动前的线性项经过了一次坐标变换，把实际的坐标变成了作用角变量坐标，这个时候柯尔莫格洛夫的非退化条件无法保持，因此近可积系统这个方向虽然发展出了一系列非常漂亮的结论，但是对于多体问题这个一开始的问题却始终无能为力。很长一段时间这些理论被认为只能解决人造的系统。对于多体问题稳定性的最终解决，则大概是近几年的事情了。这里的问题在于，近可积系统理论忽视了多体问题运动方程里面高阶项的具体形式，而这个具体形式在退化情形下依然可以保持稳定轨道的存在。另外则是为了解决 Arnold 猜测出现的一系列抽象的理论，然而 Arnold 本人并不太认可这些证明。