数学史上有哪些问题是通过构造出一套新的理论才得以解决的？必须要构造新的理论才能解决这些问题吗？ 第1页

投影集可测问题, 从波兰-俄罗斯学派到哥德尔之间是几乎无进展的真空期, 直到哥德尔和Cohen之后人们才发现, 这个数学问题所缺失的工具竟然来自于元数学(!)

称Borel集的投影为A集(analytic, 解析集), A集的补集称为CA集, CA集的投影称为PCA集, PCA集的补集称为CPCA集, 如此类推.

上世纪20-30年代波兰-俄罗斯学派兴起了研究这一类集合(统称为投影集)的潮流, 比如Luzin在莫斯科大学为此组织的讨论班参与人员就有大名鼎鼎的Sierpinski, Kuratowski, Kolmogorov, Lyapunov, Khinchin等人.

在Sierpinski, Luzin, 以及Luzin的学生Suslin和Alexandrov的工作下, 我们对A集的性质有着比较好的理解: 比如说, 所有A集都是可测的并且有Baire性质. 由于有这些性质的集合构成-代数, 所以CA集也都有这些良好性质. 那么接下来一个问题就是, PCA集有没有这些良好性质?

纵使波兰-俄罗斯学派拥有着当时世界上最天才的数学家群体, 但是他们面对着PCA集以及其它投影集的研究, 毫不夸张地说, 简直寸步难行. (但可能稍微马后炮地想, 这也许也是好事, 使得他们的注意力转向了他们之后各自开创的数学领域).

Luzin在1925年甚至对这个情况表达了"我们不知道, 也永远无法知道"这样的"反希尔伯特式"的评价. 在Luzin等人当时的视角看来, 投影集的定义和可测性的定义是两个逻辑上无关的定义, 所以才使得这类问题那么困难.

直到哥德尔横空出世.

在今天大众的视野里, 对哥德尔的最深的印象估计是他的不完备定理, 稍微了解多一些的人可能会知道他的完备性定理, 然后对集合论更了解一些的人可能还会知道他的可构造宇宙 L(constructible universe). 但很少人知道, 哥德尔发现了可构造宇宙L之后, 不久便发现了数理逻辑与PCA可测问题的联系.

哥德尔在考虑"可构造宇宙是否满足连续统假设"时发现, 在可构造宇宙中, 每一个实数都是从某一类可数结构上定义而来的. 这一类可数结构(就是可构造宇宙中的)有着很简单的描述, 我们只需要它满足一个简单的公理, 并且不存在某一特定关系的无穷下降链. 如果我们将实数与它们的定义(有限长度的语句)对应起来, 我们就能用比较聪明的方法写下一个实数上的良序, 并且如果两个实数被这个良序排了序, 那么这个序的关系也能在上述一类可数结构上体现出来. 所以哥德尔观察到:

对于"实数^[1]", 当且仅当存在一个"实数", 使得编码了一个所需的可数结构, 并且在所编码的这个结构里面, ""这一句子为真.

同时, "不存在某一特定关系的无穷下降链"这一要求可以改写为: 对于每个"实数", 如果编码了一个尝试在中寻找无穷下降链的搜索, 那么的搜索都是失败的.

上面两段的内容展示了, ""是一个关于的, 形如的语句(这个语句里面仅仅出现两次量化实数的量词, 用到的别的语句都是关于自然数的).

数理逻辑上的方法可以让我们把投影操作看作, 取补集操作看作 (即逻辑上的否定), 那么上述的形如 (等价于)的那个语句相当于定义了一个PCA集合. 这个PCA集合就是实数上一个的良序关系, 作为的一个子集. 而根据Fubini定理可以推论, 实数上的良序是不可测的^[2].

这就是数学史上第一个不可测的PCA集合的例子. 这一例子由哥德尔通过抛弃几何和分析的思路, 改用数理逻辑视角, 在ZFC+"所有集合都在可构造宇宙里"这一公理体系中构造得到. 后来通过力迫法的工具, 我们知道了(非常粗略地说)如果有很多很多不可构造的集合^[3], 那么所有PCA集合都是可测的.

对PCA集合和更一般的投影集的理解在哥德尔提出可构造宇宙(内模型法)和在Cohen提出力迫法(外模型法)前, 在实分析方法上基本走到了尽头. 直到今天, 对我们对投影集高层的集合的唯一研究工具仍然是内模型法和外模型法这两个集合论方法的推广.

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参考

1. ^将"实数"看作Baire space https://zhuanlan.zhihu.com/p/274275990
2. ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/437119954
3. ^ 例如假设Martin's Axiom和连续统假设的否定; 又或者假设存在一个可测基数.