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如何证明dimQ(R)=dimQ(C)? 第1页

  

user avatar   zhang-han-yu-1 网友的相关建议: 
      

显然 和 都是 上的无穷维线性空间。

反证法:如果 或 是有限维,则其同构于 ,因为同构映射是一个双射,因此 或 与 等势,然而 可数但 和 不可数,导致矛盾。


根据Zorn引理可以选取 的线性基 和 的线性基 ,可以按照下列方式证明 。我们只证 :

首先 是 的子集,因此 。

再根据线性基的性质,任何实数可以表示成 中有限个元素的有理线性组合,因此 ,其中 的定义就是中间的花括号括起来的集合。显然 ,因此 。这其中计算的过程中用到了 是一个无限集的性质。




  

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