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如果变量X Y独立怎么证明E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(XY)=E(X)E(Y)? 第1页

  

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定理1
若 ,则 且

证明:因 ,故 ,故 ,故 .


推论1
,则

定理2
若 且 独立,则

证明:

Step1 先设 是非负简单可测函数。

则 且 ,其中每个 可测。

由独立得

因 ,故 ,故 ,故 .

Step2 再设 是非负可测函数。

设 是非负简单可测递增函数序列,使得 . 则 也是非负简单可测递增函数序列,满足 .

使用单调收敛定理与Step1的结果可得

因 ,故 ,故 ,故 .

Step3 最后考虑一般情形。

注意到 , .

因 ,故 ,故由Step2的结果得 .同理 . 由定理1得 . 同理 . 由推论1得 .

由定理1、推论1、Step2的结果得

【备注】如果没有 独立的条件,则 是不对的。此时条件需要加强到 才能保证 .




  

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