如果变量X Y独立怎么证明E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(XY)=E(X)E(Y)？ 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
定理1
若 ，则 且
证明：因 ，故 ，故 ，故 .
推论1
若 ，则 且
定理2
若 且 独立，则 且
证明：
Step1 先设 是非负简单可测函数。
则 且 ，其中每个 可测。
由独立得
因 ，故 ，故 ，故 .
Step2 再设 是非负可测函数。
设 是非负简单可测递增函数序列，使得 . 则 也是非负简单可测递增函数序列，满足 .
使用单调收敛定理与Step1的结果可得
因 ，故 ，故 ，故 .
Step3 最后考虑一般情形。
注意到 ， .
因 ，故 ，故由Step2的结果得 .同理 . 由定理1得 . 同理 . 由推论1得 .
由定理1、推论1、Step2的结果得
【备注】如果没有 独立的条件，则 是不对的。此时条件需要加强到 才能保证 .
1
相关话题
数学系的学生有哪些口头禅？为什么许多规律极其简单的数列却仍未找到求和公式？
我该怎样劝说孩子学会均衡发展？
n维空间里的n个向量的最小夹角的最大值是什么？
如何评价IMO（国际奥数） 2019中国队团体总分与美国并列第一，重新夺回团体桂冠？
为何向量没有除法运算？
一个数学好的学霸，在看到很多人在埋怨数学很难的时候是什么感觉？
计算数学在数学界是什么样的地位？
数学专业学生，认真听讲、推导书上公式，但不做题，会出现什么问题？
我们在数学中为什么要引入复数？
前一个讨论
数学书上这种是什么字体，以及应该如何手写？
相关的话题
现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？如何理解傅里叶变换公式？
请问，如何以类似曲棍球棒恒等式的证明方式证明以下恒等式？
数学有什么意义？数学中的一切都是人类自己编造的吗？
现在的纯数学家们对于自然科学的关注大概是怎样的程度？
魔方是不是告诉我们，要去寻找事物的统一解和最优解？
人们专门弄了一个自然对数函数的底数 e，是为什么？
经济学数学化的利弊都有什么？如何看待经济学不断数学化的趋势？
N 个乒乓球中有一个和其他的质量不同，用天平最少几次一定能称出来？
「罗素悖论」的提出给数学界带来何种影响，如何通俗地理解这一悖论？
如何证明以下等式?
如何评价陈天权《数学分析讲义》？
常微分方程的有没有什么学习经验？
有哪些数学系鄙视物理系的经典桥段？
有什么有趣的数学题？
如何理解「数学中可行的在物理学中并不一定可行，反之亦然」？
使用容斥原理的时候发现这个恒等式，如何证明？
想问问各位大手子这个定理怎么证明，题目在补充里?
数学的符号系统有没有缺陷？
如何评价 8 岁郭承曦和 11 岁郭承光精通电动力学、流体力学、量子化学、常微分方程等许多理工专业课？
如何判断任意无理数的无理数次方是否为有理数或是无理数？
在知乎上什么样的数学问题最好不要回答？
设光速为1那么我的飞船（小滑块）达到0.9的循环，是否能代表我达到了光速？
怎么反驳：10元=100毛=10毛X10毛=1元X1元=1元？
如何评价数海钓鱼将钓鱼题广泛传播的行为?
如何证明ln2＞1/5（✓6+1）?
如何评价 2021 年「华为杯」中国研究生数学建模竞赛？
圆的面积 S 与半径的平方 R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？
对于数学研究生来说，（在你的方向）「打基础」到什么地步可以开始做研究了？
阿里数学竞赛到底难不难？高考142分能不能去试试看？