数学分析中的两个反例是否有更深的背景？ 第1页
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考虑这个函数的解析域。
设算子
解析当且仅当[1]
当
但是当 时，上面的运算失去意义，故 在零点不解析，事实上零点是它的孤立本性奇点。这是因为
由 Picard 大定理，它在 的任意领域内可取得 的任意值，最多只有一个例外。而泰勒公式只有在某点邻域内“稳定”才能对其利用多项式进行良好的逼近，而面对本性奇点这种怪物，只能束手无策。所以 在零点趋于任何值都不用大惊小怪，可怜的孩子被玩坏了……
同理。
上图是 的模曲面，其中红轴是实轴，绿轴是虚轴。显然沿这两个方向接近原点，极限不同。
参考
- ^ 龚昇《简明复分析》1.3
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