三次曲线 x³＋y³＝1 有什么几何性质？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
- 曲线关于直线 对称，从方程的对称性容易看出；
- 渐近线为
- 方程 只有两组整数解 与 ：
- 曲线的导数，由隐函数定理
见上图， 是曲线上一点， ，由射影定理可得
函数在 不可导，除此之外处处可导，单调递减。如果将曲线沿逆时针旋转 ，也就是将其渐近线旋转至水平，
考虑此时导数：
二阶导
求拐点坐标：
即 点为拐点，实际上其对称点 经如上旋转后，也是一拐点；
- 曲线与坐标轴所围成的面积 ：
令
最后这一不等关系从图像上看是十分显然的。而曲线与渐近线所夹区域 的面积也是有限的，由对称性，只需说明 轴下方的部分面积 有限即可：
易证
由比较判别法可知积分收敛。
观察数值，猜测
证明的思路是将被积函数在收敛域泰勒展开，然后积分与级数求和交换顺序，比较级数各项是否相等。
对于积分 ，作变量替换
得
接下来需要用解析延拓到 的 函数：
于是
使用如上公式
利用余元公式
得
于是
带入到 ：
容我再想想……
- 此三次曲线展现了三次曲面的特性：
可以看得出曲面具有直母线
1
相关话题
有哪些用普通人的知识水平就可以巧妙证明的数学难题？有哪些神奇的宇宙法则？
i²＝-1几何意义是什么？
为什么总有数学专业的人觉得自己什么都懂？
在你的科研领域里，做得不错的年轻人都有哪些特征？
lnx和x的几次幂的图像最接近（保留两位小数）?
芝诺佯谬的正确解释是什么？
数学中反证法有没有可能正反都错？
为什么总有一些人推荐计算机学生把重点放在高数和线代？
这个世界上有足球、篮球等竞赛的转播，为啥没有数学、物理等竞赛的转播呢？
前一个讨论
「统计学」专业是一门什么样的专业？
下一个讨论
为什么有些函数经过二次求导后又回到了原函数？
相关的话题
为什么要构造出范德蒙行列式？如何判断圆锥曲线上是否存在有理点(横纵坐标都是有理数的点)？
「微积分」的建立和发展经过了哪些阶段，它的研究对其它学科产生了什么影响？
1／3和0.33循环的本质差别在哪里？
学数学学到什么程度怎样才算学好了？
大学数学具体学什么，以及相关的自学用书？
怎样理解平面向量的数量积是一个实数呢？方向乘方向怎么会有意义？
奶茶咖啡等饮料全换成纸吸管到底能降低多少污染？
求好一点的近世代数的教材。？
过两给定的点平分圆面积的最短曲线是什么？
我发现有个积分很接近e^π+π^e，有大佬能解释下原因吗？
为什么lnΓ(x)~(x-1/2)lnx-x+1/2ln(2pi）？
请问各路神仙，大神们，为什么圆锥的体积公式要有个三分之一（本人高一）？
中国象棋的走法是有限的吗？如果有限，有没有先走或者后走的人必赢的可能？
如何证明√2是无限不循环小数？
教育部将研究珠算文化进小学，珠算有无必要恢复？该怎样进行传承？
这个积分怎么处理?
代数几何是不是被神化了？
什么是「奥利给」不等式？
怎样理解任何有限集都是紧集？
数学上是否存在 X，使 X=X+1，且 X=X^X？即：是否存在一些情况，使方程中的 X 不能移项？
几乎处处收敛和依测度收敛的区别是什么呢？
这道数列极限题该怎么做啊？
为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂？
三角形存在垂心，请问任意四面体是否存在垂心？何以证明？坐标是什么？
拉普拉斯变换的物理意义是什么？
如何严格证明斐波那契数列的这两个性质？
如果让顶级的数学家来做 2018 考研数学会怎样？
勾股定理：x²＋y²=R²，是不是可以认为直角三角形是特殊的圆？
如何去构造一个酉矩阵？