对于那些不会做的题，答案看懂了，思路记住了就够了吗？ 第1页

我认为面对不会做的题，一定不要害怕看答案，但是看完答案后，不能满足于读懂解答过程，也不应该满足于能够记住答案，而是从正反两方面思考为什么会产生这个答案。

很多时候虽然可以看懂解答过程，但是因为答案通常不会涉及背后的思考，所以还是不能理解这个答案是怎么想出来的。另一方面，答案中的方法常常会和你的想法不同，有时你的想法也可行，甚至更好，但仍然有很多时候你的想法有错误或者导致解答变复杂。

为了让普通高中生也可以看懂，我们找一个不需要大学知识的例子：

求函数 的值域。

首先我告诉你，答案是 这道题非常直观，二次函数使得此函数在 充分大的位置趋于正无穷，余弦函数使得此函数在 处的值是

特别是如果你完整地写出求函数的最小值点的过程：

求出 则当 时 当 时 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。

那么接下来你很有可能就会觉得自己已经会做这道题了，不再研究答案。

但是此时如果我问另一个问题：求函数 的值域。

你会发现这个函数同样在 处取最小值 但是它的值域并不是

进行了这种反思，会让你重新认识到应该看看答案，关注一下求最小值点以外的过程：

注意到 是偶函数。对于任意 成立

所以 的值域是

这个解答过程看起来莫名其妙，仔细研究，会发现最后一步的理由是 可以取到任意大的值。

如果你只是理解到这个层次，就可能会犯另一个错误：对于任意 解方程 这会导致解不出来。所以前面最有技术含量的那一步是非看不可了。

具体来说，这一步是对于充分大的 构造一个数 使得 在 处的值大于 请注意，是大于 而不是等于

追求等于是解不出来的，但是追求大于，因为零点存在定理，这意味着值等于 的点也存在。

这里为什么要谈到零点存在定理呢？是因为如果此时你依然只是理解到用大于替代等于，还是容易犯一个错误，例如：求函数 的值域，其中 表示对 向下取整。

你会发现这个函数的最小值和最大值都不存在，而且对于充分大的数，总存在值比它大的点，对于充分小的数，总存在值比它小的点，于是认为值域是

然而这个函数不是连续函数，所以用零点存在定理是错误的：

在上面种种思考中，研究答案的每一步的逻辑是什么，包括它是如何被想出来的，都是正向的，而这些步骤为什么有必要存在，除去或者更换某些步骤会导致什么错误，属于反向的。

追求独自做出每一道题是不现实的，同时也很可能是不够的，看答案有不可替代的作用。但是看了答案之后，不要以为只要记住答案就可以了，而是多问自己一些问题，直到明白每一步为什么能想出来，以及为什么有必要存在。