蝴蝶定理有多少种证法？ 第1页

用射影几何中的交比性质，可以说是秒证。

蝴蝶定理

过圆内弦中点引出任意两直线被圆所截得到四个点，同侧相连，与弦相交得到两个点关于弦中点对称。

引理（交比不变性）

从同一点发射出四条直线，与另外两条直线相交，产生两组点列，它们的对应点构成的交比相等。

（复分析莫比乌斯变换中有复比的概念，是交比的推广）

交比的定义是：

引理也就是说：

证明

通过这个转化，我们发现交比只与这四条定直线的夹角有关，与动直线与四条定直线相交方式无关！

Q. E. D

我们称 点为射影中心，从映射的观点看， 被映射为 ，记该映射为 ，于是定理可以表述为：

有了这个引理的铺垫，下证蝴蝶定理：

证明

如图做辅助线。由圆周角定理可知： 和 是两个等价的射影中心，因为它们的对应角都是同弧所对的圆周角，于是它们的交比相等，即

将等式两边展开化简，立即得到：

Q. E. D

另外，蝴蝶定理很容易推广到圆锥曲线上，

利用圆的仿射性质（压缩）：共线的线段之比(单比)经过仿射后不改变。利用射影性质等可以推广到其余二次曲线上。