你见过最恶心的函数是什么？ 第1页

有一种函数名为 Volterra's function，记为 。

是可导的，它的导函数 有三个令人恶心的性质：

一、 明明存在原函数，但是 偏偏不可积；

二、 明明拥有图象，但是没有人能够把 画出来；

三、 明明拥有表达式，但是没有人能够把 写出来！

评论区已经有人给出 的链接了。豆丁网也有相似的链接

用这个函数进行构造

它处处可导

然而导函数在原点处震荡不连续

就用这个 剪切，然后无限次镜像、放缩、平移，使得表达式过分复杂。但是表达式是存在的，对自变量任取一个常数值，例如 ，然后根据这个值推断在哪个分区间套用哪个分表达式，以此求得相对应的函数值 。然而分区间有无限个，分表达式有无限个，你们谁能写出它的表达式，那就试试看咯！

图象也是如此，在那些很小的分区间内， 的图象缩为一个点， 的图象缩为一条线，密密麻麻的图象，虽然图象明确是存在的，你自己画一下试试咯！

所谓的不可积，具体是指 在闭区间 内黎曼不可积，因为这个区间有无限个震荡间断点。

魏尔施特拉斯函数

处处连续，处处不可导，不存在单调区间。

2020/11/16 更新：之前在手机上看到，手机端上找不到LaTeX的排版方法。懒得开电脑回答，就去维基百科上截了图，水印是默认加上的，之前发的图主要是自己写的字，就没有关掉水印。也没想到这么多人会看到，开电脑给大家补充一下，顺便添加一些自己做的图：

魏尔施特拉斯（Weierstrass）函数其实是一个家族的函数：

存在a使得其符合以上条件的最小的正奇数b为：

魏尔施特拉斯当时需要这个条件来证明W的处处不可导性，后来有一位数学家（G. H. Hardy）成功的放松了以上的条件：b可以是任何一个比1/a大的实数。上面的第一张图为a=0.5，b=3的魏尔施特拉斯函数：

下面我举两个例子，第一个为很大的a，第二个为很小的a：

1. 设a=0.9,b=7（ab>6）, 定义以下函数列：

根据以上W的定义，我们知道这个函数列在实数一致收敛（证明其收敛很简单）， 并且极限为：

以下为v0,到v5（m=5已经颇接近于W实际的值了）和v300与v0的对比在[-2,2]的函数图：

w300的细节图：

再来个动图：

2. 同例子1.，我们这一次设a=0.1,b=59:

以下为v0到v30的动图，和v50与v0的对比在[-2,2]的函数图：

放大图，这里能看得出来它的「自我相似性」（分形函数）：

可以看得出来当a小的时候，W的“样子”越像函数列的第一个函数，这是因为当a越小，a^n趋近0的“速度”就越快，m=1之后的通项对于函数整体的“形状”的影响就非常的小。

再做两个动图：

a为a=0.9999不变，b从1……到7的v6函数

b为b=59不变，a从0.1到0.9的v6函数

能不能找出个更恶心（美）的函数？当然可以：

欢迎勇者来做一个这个函数的3D渲染图，我已经浪费太多时间了。

2020/11/19 ......最后还是做了，取的是v10(t)/v10(r)，采样密度0.001，能给一个大概的样子：

这里只包括z在[-5,5]的值。

谢谢大家的评论。我在西班牙读书，中文的很多数学名词不认识，如果更多人看的话，我可以再讲讲尝试证明以下函数的连续性以及不可导性。至于这个函数在现实生活中有什么用，问这种问题，多半是和数学没有什么深的缘分了XD。

读书去了。

2020/11/22 更新：

附上作图的MATLAB代码。

下面的是vn函数图的……函数？a、b与n是必须的变数，dt（采样细度）如果不填默认为0.0001：

       function [n]=weierstrass(a,b,n,dt)  if ~exist('dt','var')     % fourth parameter does not exist, so default it to something     dt=0.0001; end     t=-2:dt:2;     w=0.*t;     for k=0:n         v=a.^k.*cos(b.^k.*pi.*t);         w=w+v;     end  plot(t,w) %xlim([-2 2]) %ylim([-3 3]) set(gcf,'position',[10,10,1500,500]) legend(['v_n, n=' num2str(n) ', a=' num2str(a) ', b=' num2str(b)],'FontSize',14)  end     

想批量制作图并且储存可以写一个类似下面的script：

       for n=300:-1:0     figure     weierstrass(0.5,1+0.1*n,50);     saveas(gcf,['f' num2str(n) '.jpg'])     close all end     

懒得学怎么用MATLAB制作gif，所以动图是之后用网站生成的。

再次谢谢大家看我的回答，也谢谢知乎赏脸，莫名其妙的被推到这么多人的主页，有点开心hhhhhh。以后有空还会再画些这种浪费时间的图。

挂一个人：

看了看他的动态，是和数学有什么深仇大恨吗？

你说这个函数无用，那么在密码学和信息学发展前，你是否觉得关于质数的研究无用？在量子力学发展前，是否觉得复数分析无用？粒子物理学之前的纽结理论？要我举具体的例子的话，雷登变换在断层扫描发明之前就是一个“无用的变换”，负数在十五世纪前被很多人认为是“荒唐的数字”，四元数到现在还被很多人认为是“无意义的发明”（虽然已经有许多应用的领域）。

我们在谈函数，没有在谈它的应用，更何况，在有应用之前，所有的数学都是无用的。不管你觉得数学在你眼里是多么的无理取闹、数学是「一群人靠这些显而易见的东西编定理招摇撞骗吃饭」的一门学问，它还是一个函数。

请不要在这里炫耀你对它的不屑