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为什么规定空集是任何集合的子集,这样在数学上有什么意义? 第1页

  

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最直观的逻辑:

A是B的子集,是指A的全部元素都属于B,相当于说找不到一个A的元素不属于B

那么,特别地当A是空集,当然也找不到一个元素不属于B,因为空集里本来就找不到元素

所以空集是任何集合的子集,这是一个(基于子集定义下的)定理

并且,聪明的小朋友不难发现:

这是一个关于前件为假、蕴含式恒为真的绝妙案例


听懂胎动!

↓↓不懂的小朋友,请看下文详解↓↓


离散数学的秘诀呢,就是离散数学本身

大概就是性冷淡,训练自己的脑子像计算机一样符号化工作


像是这个问题,“空集是任何集合的子集“

普通人,我说普通人,首先你给我把字都一个个看明白了

是说空集包含于任何集合,不是说空集属于任何集合

你要是这都理解跑偏,就真大无语事件神仙都不救

还有,不要去想什么空盒子空塑料袋这些对空集的比喻,想破脑子都没用的

在数学面前,普通人的直觉自带错误

正确的做法应该这样:看到“空集是任何集合的子集”,你先要意识到这是一个命题,然后根据子集的定义,立即符号化它:

这样你就成功了一半

然后就注意到这是一个前件恒为假的蕴含式,也就是说原命题为真,瞬间证毕,听懂胎动!

有些小朋友可能还没反应过来,怎么还没开始就结束了?

呃,因为这个问题对于数理逻辑就是秒证

证明的关键只有一个——前件为假的蕴含式必为真——就这一个关键

你以为你是集合论不懂,其实是数理逻辑不懂,而数理逻辑其实不复杂,就是真值表而已

如果这个问题迈不过去,那就只能投胎重来,不然以后学下去都是瘸的

(温馨提示:拉到文末,有个相关回答教会你什么是蕴含式)

好了,到这里,关于为什么“空集是任何集合的子集“,已经说得非常明白,我觉得不可能再有比我更胎教的教学了(我多嘴一句,“空集是任何集合的子集“是一个定理,是由定义证明出来的,不是题主说的“规定”)

那这个定理是什么用呢?(也就是题主问的在数学上有什么意义)

答案就是用来证明别的定理

例如证明“空集是唯一的”:

假设存在2个空集 ,根据“空集是任何集合的子集”,可知

又根据集合相等的定义(和集合的“子集”一样,集合“相等”也是定义),可得 ,即证“空集是唯一的”

听懂了吗,这就是我说的,离散数学的秘诀,就是离散数学本身

听懂胎动!


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准确的说,我们并不是规定了空集是任何集合的子集。

我们规定的只是“包含于”的定义。

A 包含于 B 当且仅当 任意a∈A,都有a∈B

根据这个定义我们可以证明,空集包含于任何集合。所以我们才说空集是任何集合的子集。




  

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