什么是实数？ 第1页

以敝人期末82分的粗浅数学分析水平试答一下（用手机写就懒得打公式了）

传统数学分析教材习惯用公理化的方法定义实数域。具体来说，在代数上我们把域定义成装备了两种二元运算（加法和乘法）的一个集合，它满足一定的公理；我们在域上引入一个全序结构，并且序关系跟二元运算还要满足一定的公理，我们把这样的域称为序域。我们把实数域定义为满足Dedekind完备性（上有界子集必有上确界）的序域。

但是传统数学分析教材并没有证明这个定义是良好的。具体来说，我们要证明满足这样条件的集合，是存在且唯一的。唯一性可以从公理直接证明，具体来说，两个完备序域是同构的，他们之间存在一个双射同时保持加法，乘法和序关系。而存在性的证明应该是构造性的，也即其他答主说的Dedekind分割。

通过构造性的方法定义实数，要求从最简单的自然数集开始构造。自然数集的存在性源于Zermelo-Fraenkel集合论，其中的“无穷公理”把自然数集定义为最小的归纳集，并声明其存在。我们从自然数集 开始，沿着“自然数集 整数环 有理数域 实数域 ”逐个构造。其中整数环定义为商集 ，~代表减法对应的等价关系；有理数域定义为商集 ，~代表除法对应的等价关系（这个构造在代数中被称为分式域）。而实数域，根据Dedekind分割的构造，被定义为有理数域幂集 的某个特殊子集。这样我们就从自然数集的存在性导出了实数域的存在性。