所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗？ 第1页

谢邀。

正方形被其一条边长x所决定，其中，

x∈R₊

同理矩形被长y与宽x所决定，其中，

(x,y)∈R₊²

那么接下来只需比较R₊与R₊² 的势。

这个证明的关键是证明[0,1] ~ [0,1]x[0,1]即可。我简要说明一下:

命题 [0,1] ~ [0,1]x[0,1]

证明:

[0,1]内的数都可以表示为二进制，如

a=(0.10101010...)₂

我们可以将a的小数序列的奇数位与偶数位分别择出，

x=(0.1111...)₂

y=(0.0000...)₂

这样我们就获得一个二元数组(x,y)，很明显，x与y都介于0~1之间，故(x,y)是单位正方形中的点。

反过来也一样，任取单位正方形中的点P(x,y)的横、纵坐标分别作为a小数的奇数位和偶数位。

于是这就形成了[0,1]与[0,1]x[0,1]之间的双射。

Q.E.D

而

从测度或者概率的角度看，得到一个正方形的概率比得到一个矩形概率明显更低。

设概率全空间Ω=[0,1]x[0,1]，二元随机变量(x,y)分别表示矩形的宽与长。只有当x=y的时候，这时矩形才退化为正方形。从几何的角度看，x=y的点仅是单位正方形的对角线，测度为0，也就是说，从全空间获得的矩形几乎不是正方形。