比开方更高级的运算能否扩充复数域？ 第1页

嗷……其实大家也希望的꜀(｡௰｡ ꜆)꜄但是这么做真的不行qwqq

代数上的性质会告诉我们，无论你给实数域 加一个多少次的方程的一个根，我们得到的那个东西如果比 大，就只能是复数域

大家也在想，我们能不能不管这个什么代数方程了，不管用什么手段，我把数扩了就好了呢？

遗憾的是，答案是——不行！

实数R的这个数域的扩充，如果你要求这个啥，加减乘除，交换律结合律，想干啥干啥，其实就只能是复数域 了。代数上会保证这一点。

丧心病狂的数学家们并没有满足，既然你要求这么多达不到，我们可以减弱一些要求吗？

具体地说，我们想在 上定义一个“乘法”，满足这几条性质就行了

1.交换律结合律太厉害了，我们就不要求了。但是它作为乘法得有乘法的尊严吧(๑•॒̀ ູ॒•́๑)换句话说，它总得有分配律吧。即

和

2.加减乘除，除法应该也要有~即

对每个不是 的 ，存在一个数 ，使得

(3).既然每个“数”都是一个向量，它就有一个长度。我们的乘法应该是保持长度的，即

就是这三条性质了。乍一看它们又多又杂，根本不讲道理，但其实每一条定义都是有原因的——我们所要寻找的空间，一定是在数学里有用的东西，也就是所谓“可爱”的东西。

寻找这样的空间绝非易事。复数在16世纪17世纪的时候就被提出了，而Hamilton发现四元数则是在两百多年后的19世纪，八元数与四元数被发现的年代倒差不多——然而此时Riemann和Werestrass已经把复数域上的分析研究得彻彻底底了，四元数才刚刚被发现。

相比复数域来说，四元数体已然开始有些不靠谱——它的乘法不交换，即 和 不一定是一个东西。Anyway，即使是这样，它在数学的各个分支，包括几何、拓扑、代数、分析，都已然展现出惊人的好处。(下面几句话可以跳过~)举个栗子，通过它我们可以得到 到 的一个二重映射，你以后如果学了李群就会知道这是一个李群的同态，你继续学李群就会发现……怎么讲来讲去就这么一个例子啊摔Ծ‸Ծ其实就是因为这个是最简单的不平凡的李群同态了。

如果说四元数不交换已经使你难受的话，八元数就更加奇葩了——它甚至不结合！

不结合这件事情对于数学家来说打击尤为强烈，对于很多结构来说，结合律都是更为本质的东西，而交换律往往可有可无——有的话更好，没有的话……也能做~八元数体的乘法甚至不结合，这就使得八元数没有获得如同四元数那么重要的地位。与此同时，数学家们也开始猜测，八维以上是不是就没有这种空间了。

感谢 @王筝 指出的，感兴趣的读者可以点开Cayley-Dickson construction看一看这些性质是怎么在一步一步的构造中失去的，（当然，既然每一个柿子都会使得文章的读者减半，细节我就不贴出来啦，维基上面写得已经十分清楚啦www）

这件事情的证明来自于19世纪末Hurwitz的证明，利用刚才给出的Cayley-Dickson构造，这个问题似乎不太困难地被解决了。

撒花！~~

丧心病狂plus的数学家们并没有停下丧心病狂的步伐，一个自然的想法又冒了出来——在刚才的要求里，第三条与前两条并不太相同，前两条性质十分的代数，而第三条与长度有关，似乎有一些几何的意味——我们是否可以把第三个要求去掉呢？

• 一个实数上的线性空间 带上一个乘法，使得乘法与加法满足分配率，而且在这个空间也可以做除法，它是否就是之前的四种之一？

寻找四元数与八元数这样的例子已经不容易，证明这样的空间只能是复数域、四元数和八元数则更加困难，可以说这是数学家们的百年接力。在今天的眼光看来，1900年以前的数学对这个结论几乎是没有任何办法——任何古典的工具在这个问题上都束手无策。

给这件事情带来转机的是Poincare,他在世纪之交引入的同调似乎可以开始撼动这个问题了——上同调的理论可以证明，这样的空间，维数只能是 。因为这个发明，Poincare也成为了代数拓扑的祖师爷。

然而Poincare的上同调做到 的地步就再也进行不下去了，我们既找不到16维的例子，也无法证明16维以上的都不行了꜀(｡௰｡ ꜆)꜄

接下来的一个祖师爷一样的人物是Grothendieck，老爷子前几年才去世，在数学届可以说是风清扬一样的人了

Grothendieck喜欢各种抽象的东西，他一生中发明了无数奇怪而又威力巨大的东西，其中之一就是一个奇怪的上同调的理论，他把它称作K-理论。这个理论出人意料地强大，在50年代其问世不久，就被拓扑学的一个传奇Milnor和Kervaire用来证明了这样的东西维数只能是1,2,4,8.

喵，以上就是这个问题的历史来着~几百年来大家一直在思考它观察它，到了今天，也算是一个十分成熟的东西啦~

谢谢你看完我的回答w