圆的面积 S 与半径的平方 R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？ 第1页

量纲分析即可。

如果默认性质已经好到是二维微分流形了，只是要正比这个结论的话，完全不需要像 @杨树森 讨论那么一般的面积公式。

当然，严格来说，得先说明圆内是个二维区域，而不是分形之类的恶心玩意。

只要是个二维区域，体积（测度）一定正比于尺度的平方，而圆只有一个尺度即半径，所以正比于半径平方。

在现代数学中，过去没有严格定义的几何量，比如长度、面积、体积，都有了严格定义，不再依赖于直观。借此问题我想科普在现代数学如何将长度、面积这些几何量严格定义，这需要用到导数、偏导数（包括Jacobi行列式）和Riemann积分（即定积分）的定义，我将它们附在最后，而极限的定义我就不再重复了。

与很多微积分教材不同的是，我倾向于从一开始就抛弃形如

的表示曲线和区域的方法，而是用参数表示，因为这样可以更本质地看出一维曲线和二维区域的含义和区别，以及理解为何长度和面积如此定义。

为了简便，这次只讨论二维空间

中的长度和面积。首先我们明确二维空间 中曲线和区域的定义，曲线是指连续函数

区域是指连续函数

例如圆是一条曲线，它是

圆内是一个区域，它是

这里使用了弧度制、三角函数和圆周率概念，它们是我在过去的文章里讲过的，我将相应文章的链接附在最后。

然后给出长度和面积的定义。设

可微，则曲线 的长度是指

设

可微，则区域 的面积是指

其中 是行列式，定义为

在此我想介绍行列式的几何意义，一个二阶行列式的绝对值是以它的列向量为基向量的单位平行四边形的面积，由此可以看出上述行列式即Jacobi行列式的意义就是类似于导数刻画曲线的变化率那样，刻画了平面区域的变化率，从而此积分可以作为平面区域的面积。

最后计算圆的长度和圆内的面积。圆

的长度为

圆内

的面积为

导数的定义为

偏导数的定义为

Riemann积分的定义为

其中

弧度制、三角函数和圆周率的严格定义请参阅