「只有」和「有且只有」的区别是什么？ 第1页

我本来想引用一下我这个答案，但是转念一想：「当且仅当」和「有且只有」是相当不同的两个概念。

这个问题下的其他回答也有混淆这两个概念的，所以我先辨析一下二者区别，然后从数学角度谈一下「有且只有」的含义，最后尽力给出一些生活的例子。

1. 辨析

a. 当且仅当

「当且仅当」表达的是一种双向关系，「当」是从右向左，「仅当」是从左向右，加在一起就两边都通。

逻辑里「当」，「仅当」，「当且仅当」意思都不同。
A当B = B-->A = （非B）或A =如果B那么A = B是A的充分条件
A仅当B： A-->B = B或（非A）=如果A那么B =B是A的必要条件
A当且仅当：: A<-->B = （非A 且 非B）或（A 且 B） =如果A那么B 而且 如果B那么A = B是A的充要

这是之前答案里的解释。

b. 有且只有

「有且只有」没有表达任何双向关系，而是「唯一性」和「存在性」的结合。其中，显然，「有」代表「存在性」，「仅有」代表「唯一性」。这是对某一个客体的属性的描述，而不是某两个客体之间关系。所以单纯的类比「有且只有」和「当且仅当」是行不通的。

2. 「有且只有」的数学含义

i. 如果要证明「有一个元素m，满足条件C」，我们只需要证明这样的m一定是存在的。

ii. 如果要证明「只有一个元素m，满足条件C」，我们一般需要证明，如果n也满足C，那么n一定和m相等。

所以，事实上，「有」代表「至少一个」，「只有」代表「至多一个」。合在一起才是「恰好一个」。

大概有人要问了，为什么「只有」代表「至多一个」？为什么「只有」不蕴含「有」？为什么「唯一性」不蕴含「存在」？

这就要回到我刚才说的证明方法。如果你仔细观察 ii, 会发现，「只有」的更准确的表述是「只能有」，举个例子：

先明确一下：大家应该都知道，三个不共线的点，可以决定一个唯一的圆。这是我们的前提。

现在我们用ii的方法证明，某个四边形ABCD外切圆的「唯一性」。

我们应该知道，对于四边形ABCD，如果存在一个四个点都在的圆，那么一定是唯一的，因为假设我们存在：不同的两个圆O，圆P，那么ABC一定既在圆O上，又在圆P上，而根据我们的前提，ABC只能同时在一个圆上，圆O=圆P，矛盾，所以 我们得到了，四边形ABCD，「只有」一个外切圆。

然而假如ABCD不共面，或者ABCD共面但对角和不是180，那么根本就不存在外切圆，所以如果想说ABCD「有且只有」一个外切圆，那么，我们必须先通过ABCD共面，ABCD 对角和180来证明：ABCD「有」一个外切圆。

3. 生活中的例子

好像不需要了