如何从傅里叶逆变换推出下面这个公式？ 第1页

你多虑了, 不过他这里确实有符号滥用之嫌. 但符号滥用基本上是物理人的老传统了, 众所周知, 物理人眼里根本就容不下映射这个词, 真能搞清楚函数是咋回事的也是少之又少, 他们眼里的函数就是一个量, 比如说 , 如果它正巧依赖于另一个量 , 那就搞出了个函数叫 . 映射? 映射是啥?

回到你这里, 我们先有一个 Fourier 变换^[1]:

然后他说要做个积分变量替换:

但你的问题就来了, 这岂不是说 吗? 这跟表象理论有啥关系? 其实这跟表象理论无半毛钱关系, 他的意思只是说:

假如 , 那我也可以写成

没了, 就这么个意思, 就是搁那放个常数罢了. 其实你要是把括号和里面的内容都去掉, 就光秃秃地往公式里写个 可能反而就没啥疑惑了. 其实这种程度的滥用还是无伤大雅的, 印象中唯一需要严格区分自变量与宗量的好像也就复变函数内块儿, 比如说定义分支点的时候:

这种小问题其实内行根本看不出来, 大家都是处于一个你懂我意思就行了的状态, 因为到后面很多东西要写精确了其实很费神. 像比较有自知之明的作者通常还会专门说一下类似的问题:

Quantum Field Theory in a Nutshell by A. Zee, 敬请见证.

这都是纯数学上的符号滥用, 跟表象理论能有啥关系呢? 表象理论一开始会扯到 Fourier 变换其实只是因为同一个量子态分别在坐标和动量表象下的波函数之间差了个 Fourier 变换罢了. 那么我们平时说的 Fourier 变换究竟是啥? 其实就是扔个平面波 然后做全空间积分就叫 Fourier 变换了. 说白了就是积分变换的一种, 没啥神秘的地方.

你马上还会碰到更多符号滥用的情形, 包括我都一定会不区分变换前与变换后的映射符号. 因为在量子力学里, 重要的确实不是映射, 而是量子态. 比如说我一定会写出下面这种式子来:

问题出在哪? 怎么变换前变换后的映射符号都是 呢对吧? 但有一说一, 表象可不只坐标动量两种, 随便一个力学量就能对应一种呢. 给每个物理态分别在每个表象都想一个符号? 怎么想都是吃饱了撑的对吧? 量子态 本身就绑定了 这个符号, 各个表象又都是平权的, 所以干脆就用自变量来指明表象就是了. 比如说 就首先就指定了量子态 , 然后又说明了是动量表象, 这就不会再有任何歧义了, 就够了.

符号滥用是不可避免的, 数学人看到这里也别偷着乐, 你们那边的滥用功底也不差. 对于符号滥用我只能说, 你初学的时候一定要先知道自己是在滥用然后再去滥用, 别糊里糊涂跟着别人用了大半辈子然后哪天突然纠结起来又给自己吓一大跳.

关于 Fourier 变换, 下面摘抄自:

我知道你高数里学过所谓的 Fourier 级数展开, 我看知乎上好多人都把这玩意儿整的神乎其神的, 其实好像也没啥了不起的吧? 我是说发现者 Fourier 确实很了不起, 但你学会这么个玩意儿真的需要整那么多玄学分析吗? 好像就是用频率为周期函数频率整数倍的一组三角函数做完备基底展开一个周期函数? 这不是很直观清晰的东西吗?

咱先不管这个, 反正你以后也碰不到啥周期函数, 对我们理论物理人而言真正重要的是这里推广出来的 Fourier 变换, 级数展开也有复数的版本, 在那里三角函数被换成了平面波 , 然后进一步推广到 Fourier 变换之后呢? 我们把无穷级数求和改成了积分, 对被变换的函数也不再设有周期性的要求, 而作为基底的平面波也可以有连续的频谱且从基底变成所谓的积分核了.

那其实你完全可以撇开 Fourier 级数展开的思想包袱, 就是完全没学过也没关系好吧, 我们就从零开始定义这个变换:

Fourier 变换:
Fourier 逆变换:

那其实这里完全没有啥门槛, 就是一个积分变换的定义罢了, 就是说假如我们有一个函数 那就可以对它做 Fourier 变换, 然后得到一个蕴含的信息与它完全相同的 , 因为它俩是互逆的, 所以包含的信息肯定一模一样. 也就仅此而已, 这就叫积分变换, 我们就是把一个关于 的函数换成了一个关于 的函数罢了.

其实所有的积分变换就都只是积分变换罢了, 什么拉普拉斯变换 (Laplace transform), [Borel 变换] 都是这样的, 就是引入个参数做个积分, 然后原来的变量没了剩个参数作新的变量.

那我们为啥要做呢? 这主要是有时候在 空间里研究问题会突然简单很多. 然后在物理上其实出现率更高的是 这种积分核, 这就会将坐标的函数换成一个动量的函数, 这也就是物理人常说的去动量空间处理. 听起来巨妈科幻对吧? 其实就是这么个积分变换罢了. 至于说为何坐标与动量互为 Fourier 共轭, 且听量子力学那一期的分解.

如果你将变换式代入逆变换式:

这种选择性实际上就是 δ 函数的定义, 也是 δ 函数的重要功能, 所以我们可以说:

或者如果你总觉得不太接受上面那个就是 δ 函数的定义的话, 还可以这样想:

对 δ 函数做 Fourier 变换 是个常数.
这样再积分回去就有
物理··· 很奇妙吧?

对离散的 Kronecker delta 也有类似的奇妙结论:

在 或者说 时^[2],

这个结论很容易证明, 你可以自己试试.

参考

1. ^ 别跟我说这个叫逆变换, 变换和逆变换本来就是互逆的, 既然二者地位平权, 那你取谁叫变换都行.
2. ^ 也就是一个周期之内