目前统计学在国内外的发展现状是怎样的？都有哪些分支？今后的研究方向大致是向哪里走？ 第1页

已有珠玉在前，就不班门弄斧了。以下均为一家之言。

1、统计学，现代统计学，以及国内外的发展现状

先啰嗦几句统计学学科。广义的统计学算是一门古老的学科，其诞生非常之早，早到但凡有数据的记录、合并与整理的需求的时候，就人们就已经开始接触到统计学的雏形。这可以一直追溯到近代人们对天文数据的使用，以及随之出现的最小二乘法（OLS），这一段时期可以称为统计学的古典时期，而误差概念的逐步成熟、最小二乘法的出现及使用，私以为可以类比为牛顿力学之于物理。

现代统计学萌芽于大约100年前，个人认为其标志性在于R. A. Fisher 在1922年发表的文章 On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics，里面将统计学从实际应用问题的讨论推向了理论性的研究，并且给出了许多统计学术语的“原始”定义。比如，似然被定义为给定参数值以后，正比于观察数据出现的概率（的一个值）：

Likelihood: The likelihood that any parameter (or set of parameters) should have any assigned value (or set of values) is proportional to the probability that if this were so, the totality of observations should be that observed.

从中我们可以看出，在当时，贝叶斯的观念已经颇具成熟，以至于Fisher在提出似然概念时借助了其思想，并且后面在提出极大似然估计的时候，也将其与贝叶斯估计量进行比较。该篇文章可以视为极大似然估计的诞生。

随着概率论的公理化和发展（1931年，Kolmogorov出版 Foundations of the Theory of Probability，标志概率论的公理化），J.L. Doob （周元燊的导师，也是Rao–Blackwell 定理里那个David Blackwell的导师，Rao是Fisher的学生）于1934年发表了文章 Probability and statistics，尝试于将极大似然估计方法为什么有效（即后来所谓的相合性，H. Hotelling在1930年在文章 The consistency and ultimate distribution of optimum statistics 中称其为consistency）提供严格的数学证明。1946年，H. Cramer在专著Mathematical Methods of Statistics中将这一时期的统计学进展进行了归纳整理，其中的章节顺序几乎奠定了以后数理统计学教材的写作范式（随机变量以及概率分布、抽样分布、统计推断、显著性检验），其中一整章讨论了极大似然估计的渐进性质。1949年，A. Wald简化并发展了Doob对MLE的相合性的证明，成为后续模型证明相合性的范本。再后来统计学研究越来越专门化系统化，比如统计决策理论的发展等，以至于1973年数理统计年刊（ Annals of Mathematical Statistics）分为了统计年刊（Annals of Statistics）和概率年刊（Annals of Probability）两本杂志。这些成就私以为可以类比为量子力学之于物理。

由上可以看出，统计学在国外的发展是一直连续并逐渐成熟的，这里的成熟包括学科的建设、学术期刊的发展、学生的教学模式等等。Fisher虽然是英国人（当年许宝騄也是留学英国），但随后因为二战的缘故，学术中心迁至北美，逐渐奠定了目前北美统计学top高校的格局。目前一般北美公立学校（非统计名校）的统计学教学大致分为：

1-- level，为所有对统计学感兴趣的同学的入门课程，包括统计绘图和计算软件，包括加减不包括积分运算；

4-- level，为理工科本科同学准备的统计学课程，相比1--级别要更加详细，并且运算要求更高；

4--/5-- level，为数学系或者统计系本科同学准备的课程，强化概率论基础，强化抽象积分的运算；

7-- level，研究生课程，以测度论为基础重新学习、构建统计学体系；并且将统计学方法应用于不同的统计学对象，因此存在以线性模型、非参数模型、半参数模型等等为核心的课程。

统计学在国内的发展存在巨大的潜力，以统计学教材来说，绝大部分都是相对浅显（小于等于400 level）的内容（并且因为专职化的统计学教师的缺失，绝大部分的教材的编者来自于应用数学），非常非常少的教材（目前来看只有陈希孺院士的著作）涉及到比较深入（400 - 500 level）的内容（并且一些所谓高等统计学教材是像素级"翻译"他人著作），含有近现代统计学内容（700及其以上）的教材几乎不存在。举个例子，线性模型应该是第一个应用统计学概念（充分统计量、最小二乘估计、MLE、检验统计量、极限分布等）的统计学对象，它包括（不限于）线性回归模型、方差分析模型、协方差模型（回归模型与方差分析模型的混合）、实验设计模型（区组模型、拉丁方模型以及2^k模型）、随机/混合效应模型、广义线性模型（GLM），在北美统计学博士资格考试中，这些模型的理解、求解（非数值求解）以及设计都是要求手算的；而国内的资料相当程度依赖于SAS或R等软件求解，很难将一个模型的原理讲透彻，要知道有方差分析用R求解，变量的输入顺序会直接导致不同的结果，所以不知道原理而依赖于软件是学不好统计的。

附一道应用统计（Applied Statistics）资格考试的第一题：

设模型 中 是iid的 ，并假设对所有 满足 。

(1) 证明对照 和参数 是可估计的；

(2) 给出检验 的统计量，并且得到在 下该统计量的分布；

(3) 求出 的置信区间。

2、统计学的研究分支

要了解统计学本身的研究领域分支（而不是诸如生物统计学、空间统计学等学科分支），看看斯普林格的统计学专著涉及哪些领域即可，Springer Series in Statistics。目前而言，已有197本，可以说其中每一本都涉及到一个非常具体的统计学分支。

比如该系列最早的五本：

1979，Goodman, L. A., Kruskal, W. H.，Measures of Association for Cross Classifications；

1980， Berger, James O.，Statistical Decision Theory；

1981，Seneta, E.，Non-negative Matrices and Markov Chains；

1981， Miller, Rupert G. Jr.，Simultaneous Statistical Inference；

1981，Anscombe, Francis John.，Computing in Statistical Science through APL;

以及该系列最新的五本：

2018，Filzmoser, Peter, Hron, Karel, Templ, Matthias.，Applied Compositional Data Analysis：With Worked Examples in R；

2018，van der Laan, Mark J., Rose, Sherri.，Targeted Learning in Data Science：Causal Inference for Complex Longitudinal Studies；

2017，Pfanzagl, Johann.，Mathematical Statistics：Essays on History and Methodology；

2017，Yi, Grace Y.，Statistical Analysis with Measurement Error or Misclassification：Strategy, Method and Application；

2017，Ramsay, James, Hooker, Giles.，Dynamic Data Analysis：Modeling Data with Differential Equations.

该系列的网红爆款即是所谓的ESL统计学习：

2001，Hastie, Trevor, Tibshirani, Robert, Friedman, Jerome.，The Elements of Statistical Learning：Data Mining, Inference, and Prediction.

3、Q & A

(1) 假设学完本科理工类的概率统计的知识（比如盛骤的《概率论与数理统计》），是否就对统计学已经有了了解呢？

答案是否定的，因为统计味最浓的一些知识并未在这类教材中体现。这类教材可以称为入门，但还谈不上让读者了解。比如，我们来看看一些统计味很浓但依然初等的定理（这里的初等是指表述意义上的初等，但证明可以非常不初等）：

Basu 定理：设 是完全的极小充分统计量，则 与任意辅助统计量都独立。

评：这是相当漂亮的一条定理，刻画了充分统计量与辅助统计统计量的关系。独立性是测度论概率论相对于一般实分析的特色所在，因此独立性也是统计学中最中心的概念之一。回想一下一般证明两个统计量独立，都是根据独立性的定义证明，即求出联合分布和边际分布再做对比。而Basu定理直接跳过了联合分布。给定 下，在知道样本均值 是 完全统计量，样本方差 是 辅助统计量，利用Basu定理，自然地 与 独立。

同变性原理。比如度量同变，要求对于参数 的推断不依赖于所选用的测量尺度。

评：例如要估计某城市某一时期的平均气温，如果一份记录用华氏温度为单位，另一份记录用摄氏温度为单位，那么两份记录的单位都转为第三种温度（比如卡尔文）时，得到的估计值要相同。同变性原理的讨论要涉及到群结构的不变性（函数族在群作用下的不变性）。

Rao-Blackwell 定理：设 是 的任意一个无偏估计量，而 是关于 的一个充分统计量，若定义 ，则不仅 ，而且 ，对于所有 都成立。

评：该定理进一步展示了充分统计量的重要性，即只要已知充分统计量和一个无偏估计，那么总可以通过求条件期望，得到一个依然无偏、但方差减小的估计量。也就是说，通过充分统计量就能改善原有的无偏估计。

Lehmann-Shceffe 定理：完全充分统计量的无偏估计量是唯一的，即Rao-Blackwell定理中，如果 不仅是充分统计量，还是完全充分统计量，那么 就直接是 的UMVUE了。

评：该定理给出了一个寻找UMVUE的一般性方法。特别地，对于指数函数族的完全充分统计量都很好找。另外，Shceffe在1959年出版了一本名为《方差分析》（The Analysis of Variance）的名著，至今依然是学习线性模型的必备书目之一，缺点是符号太晦涩。

Neyman-Pearson 引理：从略。

评：根据UMP的定义，看上去条件似乎很强，以至于并不是很自然地就能看出满足定义的检验是否存在。而该引理就给出了一个UMP的存在性证明，即针对于简单假设来说，似然比检验即为其UMP。特别地，Neyman和Pearson即为许宝禄在英国求学时的博士导师，Neyman也是前文Lehmann的导师。Lehmann在Berkeley的学弟Le Cam，即为现在大牛Yu Bin的导师。

Karlin-Rubin 定理：从略。

评：由于Neyman-Pearson 引理只是针对简单假设，那么对于更复杂的复合假设，该定理给出了UMP的条件和检验水平，即需要关于 的充分统计量 具有单调似然比（MRL）。

Glivenko-Cantelli 定理：设 是服从分布函数 的iid随机变量（抽样），定义经验分布函数 ，那么 。

评：该定理在俄系教材中称为“统计学基本定理”，因为它保证了随机抽样对总体的推断的合理性。陈家鼎老师在其教材中用纯分析的方式对其进行了证明。数学上看，经验分布函数不仅收敛于原来的分布函数，而且可以强化到一致收敛（几乎处处意义下）。以该定理为基础，才能讨论非参数模型和半参数模型的理论结论。

Donsker 定理：定义 ，则 ，其中 是[0, 1]上的Brownian bridge过程， 是有supremum范数的cadlag函数集合。

=============================前言===============================

准备大体介绍一下什么是统计学、北美的统计系，大致分支、近年来的某些热点。才疏学浅，挂一漏万，希望数学和统计方面的同学来作更全面的解答。PS：感谢 @张雨萌 博士的建议和指点！已根据他的建议将部分答案做了修改。

===========================开始答题==============================

首先，“统计学的发展现状是怎样的？都有哪些分支？”

1. 在回答之前，先要澄清一下统计学是什么。统计学是以数据为对象的一门科学。可以把它归类为形式科学（formal science，像数学、逻辑学、系统论），因为它的研究领域是抽象的形式（abstract structures）。另外有些人认为它是自然科学或社会科学，因为它研究了自然科学的问题或者社会领域的问题。但是如何分类并不重要。

统计学的方法论里有一部分内容是抽象的形式为研究对象，比如中心极限定理，比如正态分布，这些内容是无法证伪的，因为它是按照严格的逻辑关系推导出来的，是数学的一个分支，是一种逻辑体系。而另外一部分内容，尤其是贝叶斯主义兴盛之后，则是可以证伪的。比如我先观察了飞机起飞的间隔大约是五分钟，然后预测下一班飞机将于五分钟后起飞。这个统计推断就是可证伪的。所以非要把统计学归为某类科学没什么意义，知道它是研究数据的科学就够了。

插一段题外话：可证伪性是卡尔·波普尔的理论，也是从20世纪以来最流行的科学哲学理论。因为科学理论是建立在“观察现象—提出理论—进行实验—修改理论”的科学方法之上，所以可证伪性成为一个理论是不是科学理论的必要条件。比如“神爱众人”，这个理论不可能检验，因为没法观察到“神”，也没法定义什么才是“神”的“爱”。但另一些建立在观察基础上的推断，比如“摩擦力导致运动着的小球停止，摩擦力越大，运行距离越短”，则是完全可以证伪的。这就是伽利略开创的科学方法，经由这套方法发展出来的理论才是科学理论：并不是说凡是可被证伪的理论都是科学理论，但是科学理论一定要具备可以被实验推翻的可能性。

话题回来。我们大概追溯一下现代统计学的发展。统计方法可以追溯到很早，几乎在计数方法被发明的时候就有了原始的统计方法。到了16世纪，由于掷筛子赌博的兴盛（据说），学者们开始研究点数的频率，推算概率。这是早期的概率论。与此同时，政府为了增强控制力需要了解人口的特征。学者们发展了国情学，开始应用在人口统计上，比如男女性别。统计方法以概率论和国情学为两个方法论的源头，有了进一步的发展。

统计方法发展成为现代（数理）统计学，则是更近的事。17、18世纪的数学家继续发展了概率论，为现代统计学的奠定了部分理论基础。这其中就有数学家Thomas Bayes，他在18世纪中期提出条件概率的贝叶斯公式之后，他并不知道会给统计学带来多大的变化。

不得不提到的一个巨人是Karl Pearson。没错，就是Pearson test 那个Pearson，他还很任性地用姓氏首字母命名了一个折磨了统计系学生们一百年的变量—— p value。除此之外，他在统计理论的各个方面都有创新，最重要的是，他创建了世界上第一个统计系。他被公认为是现代（数理）统计学的创建者，也是我们生物统计的创建者（第一个生物统计学期刊就是他开的）。其实能者是无所不能的，此君在业余还取得了大律师资格，还是一个坚定的基因改良主义者，要知道那才是1890s！

下面这幅图是Pearson的老婆为他的学术著作画的插页（1），主题就是：Chance of death。从左到右意思是人从出生到老要经历不同的死亡风险。不知道为什么采用桥这个元素，有可能是听过奈何桥的传说？？