「所有正整数之和是负十二分之一」在数学上是没有矛盾的吗？ 第1页

数学上“和”也分很多种：

• 有限数列的和。这个不用解释，就是一些数加起来，满足交换律和结合律。
• 柯西和。这种求和方式就是一般的收敛的无限数列求和。
• 切萨罗和。定义是 ，即数列的前n项的部分和的平均数的极限。可以证明，在数列收敛的时候，切萨罗和等于黎曼和。
• 广义切萨罗和。 ，其中 表示广义切萨罗和的阶数，当 等于0时等价于柯西和，当 等于1时等价于一般的切萨罗和。
• 阿贝尔和。 。很神奇的一点是，如果一个数列的切萨罗和存在，那么这个数列的阿贝尔和等于这个数列的任意阶的切萨罗和。
• 拉马努金求和。贴一下 wiki 的链接：Ramanujan summation。为什么不贴公式？因为我实在是看不懂了。拉马努金求和是基于函数的解析延拓的，这就要求被求和的数列不仅有整数项的值，还要在推广定义使其有非整数项的值。

现在来看一看“所有自然数之和是负十二分之一”里的“和”是哪个和。

算一算就能知道，这个数列在柯西和、切萨罗和、广义切萨罗和与阿贝尔和下都是不能求和的，那么选择只剩下一个：拉马努金求和。

但是要注意，拉马努金求和虽然能算出结果为 ，但是这并不仅仅是对全体自然熟的求和，而是对于函数 的解析延拓在值域为自然数时的所有值的和。这种哦你定义方式肯定没有矛盾，但是也失去了与有限数列求和对应的意义。