首先你这完全剩余系定义跟我见过的不一样……应该把余0也加上吧。不过这个不影响结论,毕竟你可以把两个0放在一起凑成0×0=0。
现在考虑1到n-1,将其以某种方式排列,形成完全剩余系a₁到aₙ₋₁,再排列,形成完全剩余系b₁到bₙ₋₁,对应相乘并模m,得c₁到cₙ₋₁。最后要证这些c不是完全剩余系。
首先是m=p(p为素数)的情况,这个比较简单,注意到(p-1)!≡-1(mod p)即可:所有a与b乘到一起,模p余(-1)²=1,而所有c乘到一起,模p余-1,矛盾。
对于m=dp,p为质数,d≥2的情况,我们先假设可以形成完全剩余系。这里有个有趣的地方(下一段给出证明):当c为d的倍数时,对应的a与b也应为d的倍数。于是我们可以找出(p-1)组均为d的倍数的(a,b,c)。取出,除以d,即得“p的完全剩余系乘以p的完全剩余系得p的完全剩余系”,与上一段结论矛盾。
下面证明这个“有趣的地方”:注意到,只要a和b其中一个是d的倍数,对应的c中就含因数d。故而为d倍数的a仅能与为d倍数的b配对,否则产生的为d倍数的c就变多了。