怎样理解“单点紧化”？ 第1页
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谢邀。
单点紧化的含义是扩大一点点就让原来的空间包含在一个紧空间里面。它的目的是希望通过研究紧空间的性质来反推原来空间的性质，因为“紧”是个很好的拓扑性质。至于怎么看出R^n的单点紧化是S^n，你如果反过来看，把S^n挖掉一个点以后同胚于R^n，可能更好理解一些。这个同胚由球极平面投影给出。几何意义也可以从 球极平面投影 看出来。R^n和S^n的这种联系在拓扑学里是个很有用的直观图像，比如在纽结理论里面,R^3当中的纽结可以通过单点紧化嵌入到S^3中，而在S^3这个紧空间中研究纽结理论似乎比在R^3中更自然一些。
单点紧化某种意义上是“代价最小”的紧化，因为它只需要多加一个点。与之相对“代价最大”的紧化是Stone-Cech紧化，它是通过范畴论的universal property定义的，具体构造要加好多好多点。
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