数学中，梯度可不可以理解为电场线垂直为等势线？ 第1页

我之前写过相关的文章，不过这次用更严格的流形语言进行表述。

其实微积分中的隐函数定理早就蕴含了这一点：梯度是曲面增长速度最快的方向，它与等值线（面）垂直。

例如隐函数 可以确定平面一段曲线；也可以理解为二元函数 的 - 等值线。

考虑函数的全微分

全微分体现了二元（多元）函数 在曲面 上的切平面 沿着各分量方向 上的增长速率

注释：其中 是关于 线性函数： ，我们称之为对偶关系。

也就是说 ，即 是余切空间 （ 的对偶空间）的余切向量。

我们现在考虑曲面 上的 - 等值线（假设光滑），设为 ，它满足原方程 ，通过全微分公式、链式法则：

这里以及下文我们使用 而不是 ，是为了符合微分几何的表示习惯，此处 应该视为曲线的切向量。

立即可得我们熟悉的隐函数定理的形式：

不过这不是我们的关注点。回到前一个式子，我们注意到如下关系：

梯度 和曲线的切向量 两者正交。这回到我们文章开头所说的几何含义：梯度是曲面增长速度最快的方向，它与等值线（面）垂直。因为如果动点只是在等值线 上逗留，那么对于 的增长毫无贡献，也就是它在增长方向的投影分量为 .

所以隐函数求导公式蕴含梯度与等值面正交.