如何证明悬链线图像是双曲余弦？ 第1页
1
travorlzh 网友的相关建议:
现在我们假设a≤x≤b间长度为L的曲线表达式为y(x)，则有：
其中我们设
而y为悬链线当且仅当其势能达到极值（假设曲线的线密度为 ）：
很明显这是一个带约束条件的优化问题，所以我们可以用拉格朗日乘子法把条件与目标函数结合，得：
由于泛函核F满足 ，所以我们可以使用Beltrami公式[1]来构造悬链线的微分方程：
现在代入并整理，我们就能发现存在固定常数使得：
于是乎：
现在对两侧积分，便有：
接下来利用cosh是偶函数这一性质，便有：
再做整理，我们就得到了悬链线最终的表达式：
其中出现的常数可以通过代入边界条件和优化问题的约束条件来确定。
参考
- ^摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949
1
相关话题
数学、自然科学史上为什么会有那么多巧合？比如牛顿莱布尼茨同时发明微积分等?如何证明不等式(x+1)^(1/(x+1))+x^(-1/x)>2 ?
证明了黎曼猜想就能马上得到素数公式吗？
下面这两种情况为什么不一样，x为什么比y少了 ,后面一定要加x,y吗?
在泛函和偏微等学科中，为什么要引进「弱」的概念？
为什么会有 i 这一虚数？可以求出 i 的值吗？
如果从图中移去一个边的一个集合将增加亚图的数目时，被移去的边的集合就成为截。”那么，亚图是什么？截呢？
急/高中数学怎么学？有什么学习数学的方法吗？本人复读生？
希尔伯特本人对不完备定理是什么态度？
微分流形与黎曼几何有什么关系？
前一个讨论
裴擒虎有历史出处吗?
下一个讨论
作为女生，相同价格的黄金和钻石你选哪个？
相关的话题
数学家们用不等式做什么？科学和数学的关系是什么?
存不存在一种数制，在这个数制下没有质数？
比特币挖矿一定要用计算机吗？用纸笔来计算可行吗？
数学系大一学生学习数分时看一页书花 20~30 分钟合理吗？
命题「任何一个自然数都可以用二十个以内汉字描述出来」的错误在哪？
为什么教科书要写的这么复杂？
圆柱被面斜切开后体积怎么求？
如何正确理解群论中的同态基本定理？
各位大佬，这题怎么做?球了？
学数学学到什么程度怎样才算学好了？
如何直观地理解群论？
如果有一个初三学生说他懂微积分，我该怎么应对？
圆周率中各个位数字是不是「均匀分布的」？比如取 100 万位，是否每个数字出现次数都在 10 万左右？
手算卫星轨道有多复杂？
a,b,c>0，且abc=1，怎样证明1/√(1＋8a)＋1/√(1＋8b)＋1/√(1＋8c)≧1？
数学2分，如何自救？
轴对称图形只能看出来么，不能证明么？
傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？
请问为什么在数学上，任何问题通过迥然不同的方法求解，最后都一定会得到相同的答案?
这个极限题如何解决？
圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少？
数学的所有内容都是基于一些无法证明的公理和无法定义的概念（比如集合、直线），那么数学有没有可能是假的？
如果你有很多枚鸡蛋，和一个n层高的楼，你想知道鸡蛋的抗摔能力。如何在消耗蛋数与实验速度之间找到最优解？
如何将一张A4纸快速折出完美的五等份？
有没有数学家通过运用数学在股市里炒股赚钱的？
阿里数学竞赛到底难不难？高考142分能不能去试试看？
是否存在一个世界，这个世界没有任何关于物理化学甚至数学方面的性质，只是一个单纯的世界？
真的有什么式子能表示圆周率吗？
圆周率应该如何从更高的数学视角理解？