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如何求解这个初等数论问题? 第1页

  

user avatar   ling-jian-94 网友的相关建议: 
      

不需要什么高深的技巧。如果n包含至少两个不同的质因数,设为p, q,则n/p、n/q都在非平凡因子列表里,它们都是m的因子,所以m是他们的倍数,而这两个数的最小公倍数是n,所以m是n的倍数。但n本身不在黑板上,所以m只能为n。

若n只含有一个质因子,也就是某个质数p的k次方,则m是p^(k-1) 的倍数,同时m也不含有其它质因子,而且m也不等于p^(k-1) ,因此也有m是p^k的倍数,同上可得m=n。

注意到所有小于或等于n/2的数都出现在了黑板上,最大的一个不小于(n-1) /2,当它至少为3的时候(也就是n>=7时),则存在一个不小于(n-3) /2的数,它在黑板上,而且不是3的倍数。同时n>=7时,3一定在黑板上,这两个数互质,所以m也就是n一定是它们乘积的倍数,于是有n>=(n-3) /2 * 3,解不等式得到n<=9。超过9的n一定不符合条件。

9以内的合数只有4, 6, 8, 9,依次检验可以发现只有4和6符合条件。所以解就是4和6。

备注:实际上,所有出现在黑板上的数恰好就是2到n/2之间所有的整数,这其实是很显然的,因为它们的2倍都是[1, n]中的合数,而大于n/2的整数的最小倍数也超过了n,所以黑板上的数实际上就是不超过n的一半的1以外的正整数。


user avatar   jingfanc 网友的相关建议: 
      

假设你写出了 合题

考虑 及

他们的因子 及 被写出

于是

于是 有非平凡因子

但是我们要求 在一开始被写出,于是要求

而 ,这说明 时不存在合题的


继续随便估计一下:

被写出。于是 ,但 是 的非平凡因子,显然矛盾。

之后尝试。发现 时,取 合题,以及 时取 合题。




  

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