F=ma 的逻辑是什么，F 为什么等于 ma？ 第1页

经典力学的所有物理定律都可以追究到最小作用量原理，这是经典力学的唯一公理。再考虑到伽利略对称性作为时空的对称性，就可以推导出来F=ma. 比如我们可以构建如下的在伽利略变换下不变的拉氏量：

其中 . 根据最小作用量原理可以得到运动方程：

这里用到了“力是势的负梯度“这一定义。F=ma就是这么推出来的。

刘川老师《理论力学》第9节也讨论了这个，不过他是从狭义相对论（洛伦兹对称性）出发的，最后在非相对论极限下得到了F=ma的表达式。

其实，最小作用量原理再往深了追溯可以追溯到量子力学的路径积分。根据费曼路径积分公式，一个量子系统从 态演化至 态的概率为：

其中作用量S被定义为 . 考虑 的极限，会发现整个路径积分的积分主值由S最小的那个路径决定。这就是说，量子力学的路径积分在 的极限下退化到了最小作用量原理，也就是经典力学。

总结一下，从底层原理的角度看，你可以认为F=ma的推导路径是这样的：

评论区有些小伙伴认为拿最小作用量原理推F=ma是左手倒右手，同一回事互相论证。并不是啊，最小作用量原理肯定是更底层的一个原理啊。F=ma只是最小作用量原理在伽利略对称性下才能得出的推论，你把对称性一换得到的就是别的结论了啊。比如你换成洛伦兹对称性，推出的就不是F=ma了，而是狭义相对论。再把粒子扩展到场，就可以推出Klein-Gordon方程和Dirac方程。再考虑到洛伦兹对称性+定域U(1)对称性，用最小作用量原理推出的就是麦克斯韦方程了。所以说最小作用量原理能做的事情更广泛，是比F=ma更加底层的一个原理。