房间内有 100 人，每人有 100 块，每分钟随机给另一个人 1 块，最后这个房间内的财富分布怎样？ 第1页

补充：多位知友指出，在可负债的情形下，财富分布更接近正态分布；接近幂律分布的情形仅在不可负债的情景下成立。我经过测试后，发现现象上确实如此，但未经过严格数学证明（没错，就是数学烂……在此抛砖引玉，请各位大神不吝赐教）。

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这个问题很有趣，许多知友用不同的方法给出了回答。

但我还是要来凑个热闹。我采用的方法是程序模拟（没办法，数学烂啊）。

以下为正文。

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我们不妨把这场游戏视作社会财富分配的简化模型，从而模拟这个世界的运行规律。我们假设：每个人在18岁带着100元的初始资金开始玩游戏，每天玩一次，一直玩到65岁退休。“每天拿出一元钱”可理解为基本的日常消费，“获得财富的概率随机”是为了……嗯……简化模型。以此计算，人一生要玩17000次游戏，即获得17000次财富分配的机会。

下面，我们就来回答一下。

在上述规则下，游戏运行17000次的结果如下图所示：

（说明：1.上图中横轴标签代表一个玩家的编号，柱子的高低变动反映该玩家财富值的变化。2. 当某人的财富值降到0元时，他在该轮无需拿出1元钱给别人，但仍然有机会得到别人给出的钱。）

可以看到，每个玩家财富值的变动是极为剧烈的。为了方便描述整个社会财富的分配状况，我们又按照财富值的排序做了下图：

（说明：上图中横轴标签代表玩家排序（非编号），排序越高的财富越多。初始时所有人的财富值相等，随着游戏的进行，财富值差距越来越大。）

没错，财富的分配接近于幂律分布（结论只是程序模拟，而非数学精确求解）。最后，社会将有很少的富人和很多的穷人：

• 最富有的人的财富值约为初始财富的3.5倍；
• top10%的富人掌握着大约30%的财富，top20%的富人掌握着大约50%的财富；60%的人的财富将缩水到100元以下。

就这样，大部分人的钱跑进了少部分人的口袋里。即使在最公平的规则下，世界依然展现出了残酷的一面。以上结果与大多数知友的答案一致。

在此基础上，我们又设计了更多的情景，同样用程序进行了模拟。

允许借债会让世界变得好一点吗？

在现实社会中，情境会更复杂一些。比如说，当我们没钱了，还可以找亲友、找银行、找投资人借债，说不定哪天就东山再起了呢。在允许借债的情况下，游戏结果如下图所示（排序后结果）：

结果表明：

• 游戏结束时，最富有的人的财富值约为初始财富的4倍；
• top10%的富人掌握着大约33%的财富，top20%的富人掌握着大约56%的财富；大约25%的人背负着债务，最高负债约为200元。

没错。借债虽然能让我们在走投无路时多一些周转余地，但最终会让穷人变得更穷。

屌丝真能逆袭吗？

我们以所有玩家财富值的标准差来衡量社会贫富分化程度，按时间序列做出图来长这样：

（说明：横轴表示游戏轮数，纵轴表示社会财富的标准差）

可以看到，游戏早期的标准差变动最为激烈，而在6000-6500轮游戏后，标准差的变化趋于平缓，也就是社会财富分布的总体形态趋于稳定了。按照我们设定的游戏与人生的对应规则，这时玩家年龄为35岁。

这个结果告诉我们，35岁之前，人与人之间的差距已经完全拉开了。

进一步看，如果一个人在35岁时破产，还有没有可能逆袭呢？

本次模拟结果中，有15个人在35岁的最后一天时处于破产（负债）状态，而他们在此后的财富值及排名如下图所示：

（说明：上图中的红色柱子为在35岁时破产的玩家，绿色柱子为其他玩家。红色柱子在纵轴上的高度变化表示其财富值变化，在横轴上的位置变化表示其排名变化。）

可以看到，当这15个人在65岁退休时，有7人仍然处于破产状态；有8人还清债务并有了财富积累，但离富豪仍有相当差距。

看来，以35岁为界，虽然破产以后，仍有一半概率回复到普通人的生活，但想要逆袭暴富，却是相当困难的。

所以，发财要趁早，大龄屌丝逆袭更像是一个传说。

富二代和普通人有什么区别？

在真实社会中，每个人的起点其实并不相同。总有一些富二代、富三代，在财富游戏的开始就占尽了便宜。这一点也应该被考虑到我们的模型中。

为了简化计算，我们假设只有两类玩家：90个普通玩家（设定同上）+10个富二代玩家。富二代玩家的初始财富是500元，他们在每轮游戏中需要拿出2倍的钱，同时获得财富的几率也是普通人的2倍。游戏结果如下图所示（排序后结果）：

（说明：上图中的红色柱子为富二代玩家，绿色柱子为普通玩家。）

虽然这个分布形态与全是普通玩家的结果基本一致：top10和top20的富人掌握的社会财富比例和负债的人数比例都差不多，但是仔细来看，top5富人中的全部，以及top10富人中的7位都是富二代玩家。

我们在富二代玩家（红色线条）和普通玩家（绿色线条）中各选5位，绘制出他们的财富值变化图：

可以看到，富二代玩家中虽然也有“败家子”，但他们仍有很大概率将财富值维持在较高水平。富二代们和普通人生活在两个世界中，偶有交集而已。

没错，普通人要有极好的运气，才能到达与败家富二代相同的高度。

对富人征税会改变财富分布吗？

为了缓和贫富分化带来的诸多矛盾，在真实社会中有许多转移支付的手段，税收就是其中一种。

本轮游戏中，玩家的初始财富同为100元，每轮游戏中玩家获得1元钱的概率相等。但若被选中的玩家在该轮游戏时的财富值高于200元，则他只能获得60%的收益；而另外40%的收益将平分给财富值低于0元的所有玩家（相当于破产者的低保）。模拟结果如下图所示：

可以看到，在“税收+低保”的游戏规则下，社会财富分布仍然是高度极化的，区别只是基本消灭了破产者，同时富有的人没那么富了而已。

收税可以平缓世界的分化，但是并不容易改变世界的残酷本质（除非大大加强转移支付的力度）。

努力的人生会更好吗？

我们中的绝大多数人，没有一飞冲天的发财运气，也没有腰缠万贯的爹，更不甘于吃低保。想要改变命运，我们只能选择自己更努力，去争取更好的生活。

我们假设每个玩家的初始财富仍然为100元，但有10人比别人加倍努力，从而获得了1%的竞争优势，即赢得收益的概率比别人高出1%，模拟结果如何呢？

（说明：上图中的红色柱子为更努力的玩家，绿色柱子为普通玩家。）

可以看到，社会财富的总体分布形态没有什么变化。但是，10位努力玩家中的9位都进入了富人top20！

是的，尽管最成功的玩家不一定是最努力的那个，但是努力的人大都混的还不错。感谢这个残酷世界还给我们留下一条生路。

看到这里，相信各位读者已经对这个问题有了自己的答案：

该如何面对这个残酷的世界？

那就是

努力

并坚持下去

注：

1. 本文中的结果由计算机程序模拟得到，而非数学精确求解。尽管文中做了多种假设，但实际的社会财富分配机制仍比模型中复杂许多。模型给出的结果与真实社会仍然存在相当大的差异。

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N人共有M元的情况下：

1. 最终的分布是 在标准(N-1)-单纯形(Simplex)上 边长为M的格点上的随机游走(Random walk) 的稳态分布 的各分量的分布；
2. 随机游走相当于求解离散空间的热传导方程(Heat equation)；
3. 在一定条件下，稳态分布近似单纯形上的均匀分布——对称狄利克雷分布(Dirichlet distribution)，其分量服从指数分布(Exponential distribution)。

注：以下是每分钟「某个人」给另一个人钱的情况，而不是每分钟（还有钱的）「每个人」给另一个人钱情况。请注意这两者的区别，详细见评论。

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一个极重要的隐含假设是，我们不允许负债。令x_i表示第i个人的钱数，则所有的可行状态在以下空间内：

这是一个边长（一个顶点到另一个顶点的格点数）为M的(N-1)-单纯形上的所有整数点。

（注意一般地标准单纯形的定义是在实空间上的，是内部的所有实数点。在这里我们盗用了这个术语...）

易知状态的总数为C(M+N-1, N-1)。当N=100，M=100*100 时（100人每人100元），状态总数的量级在10^240的级别。直接求解几乎不可能..

例如，当有3人每人有2元（共6元）时，状态空间是边长为6的2-单纯形（正三角）上的所有整数点。

当初始状态为绝对平均的 (222) 时，随时间变化相当于以该点为起始 在这个空间上的无偏随机游走。

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这样的随机游走理论上是可以得到稳态的。考虑一个简单的2人各2元的情况，状态空间为 (40), (31), (22), (13), (04)；状态转移矩阵为

易得稳态分布为[1,2,2,2,1]/8。

直观上，在除了边界的区域上分布应该是均匀的。（未证明）

但由上述，状态空间极大，钱数多时像这样直接求解十分困难。

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一般地，令为时间为n时状态为x的概率，定义格点上的算子Δ如下

其中d(x,y)是两点之间的距离。d(x,y)=1 表示x和y是相邻的，可以从一点转移到另一点。

则状态转移方程可以写为

其中α控制转移的速度。

有没有发现和热传导方程有点像？

其实上述定义的Δ算子就是图上的离散Laplacian (Discrete Laplace operator)，方程是图上的离散热传导方程。随机游走的稳态分布可以近似看作是热传导的终态。（未证明）

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====A HUGE GAP=====

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注意到 M钱数多->格点密集，N人数多->单纯形维数高。

我们考虑在某种条件下，以连续热传导方程近似格点上的随机游走。进一步地，忽略对边界上的讨论，将终态视为单纯形上的均匀分布。（未证明）

（注意这里有一个极大的gap，我们未严格讨论在什么情况能用连续Laplace算子代替图上的Laplacian）

User:Skinnerd/Simplex Point Picking 这里讨论了如何在单纯形上随机取样或模拟随机游走。注意到单纯形上的均匀分布相当于参数α=(1,1,...,1)的狄利克雷分布，其分量服从指数分布（？）。具体地：

则t_i是标准N-单纯形上的均匀分布。

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若上述成立，500人各500元时最终大概会变成这样子：

此外我们注意到，当N变大时，单纯形维数高，由于维数灾难，大部分点是在“边角”处的。

N-单纯形的体积是

单纯形的中心（最均匀的分布）距离最近的边界（其中1人为0其他人均匀分布）的距离是

单纯形内接球在单纯形中的占比为

也就是说，人数超过10人时，经过一定时间的交换，几乎一定至少有一个人“破产”。

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这篇回答只是提供一个可能的方向，如何联系随机游走和热方程。充满了大大小小的gap，但我并没有时间深究了。我找到了这本书：

[1] G. F. Lawler, “Random Walk and the Heat Equation.”

看起来蛮有趣的。希望有读者能够解释一下如何严密地联系离散时间离散状态和连续时间连续状态，在什么情况下可以近似，以及如何随时间变化等等。欢迎讨论。