面积大于零的有界闭凸集的边界一定是简单闭曲线吗？ 第1页

如楼上答主所说，可以视作“欧氏空间的紧凸集同胚于单位闭球”的推论。补充一个以前写过的详细点的证明

边界应该还有更强的正则性，比如实分析告诉我们R上的凸函数几乎处处二阶可导。

首先，平面上一个闭凸集的面积大于零，说明该集合的仿射包一定是全空间，从而一定具有内部。因为凸集的性质导致其一定有相对内部，面积大于零就确保了凸集的维数。

一个二维的有界闭凸集的边界一定是简单闭曲线。不仅如此，一个n维的有界闭凸集的边界一定同胚于n维球面。而且，我们可以构造地证明这一点。

只需要把凸集平移使得原点在凸集内部，那么从原点出发的任意一条射线一定只与凸集边界交于一点。否则，由于原点在凸集内部，则有一个边界点在另一个边界点与原点的连线上，而根据凸集性质，这根连线除了两端点都在凸集(相对)内部，这就矛盾了。又由于题设凸集有界，我们也就构造了任意方向的射线与凸集边界上的点的一一对应，也即单位球面的点与凸集的一一对应。

下面说明连续。取闭凸集边界上的一个开集A，容易证明其对应的射线的并是一个开的锥。记锥为K，取锥上的一个点a，一定对应闭凸集边界上的一个点a'，则存在该边界点a'为心的开球B(a')，使得B(a')完全包含在锥K里。假设不存在，那我们就找到了一列趋于a'的点列a_n，且a_n不属于锥K。我们过原点向这些a_n做射线与边界的交点a_n'也就不在开集A中且趋于a'而这与a'是开集A中的点矛盾。从而我们找到了B(a')，沿着射线射影变换到以a为中心的开球也在锥K里于是锥K是R^n中的开集。从而锥K交单位球得到其上的开集。由于单位球也是有界闭凸集，反过来一样成立。于是两个方向映射都是连续的了。

综上我们构造地证明了两者同胚，此时原问题就是该结论的一个推论。与简单闭曲线同胚的流形也是简单闭曲线，而二维单位圆是一个简单闭曲线。

应该也可以不用同胚这样的工具，直接构造这样的闭曲线也是可以的，这里是想推广到有限维，说明有界闭凸集是多么好性质的一种集合，好到可以当作单位球来处理。