数学分支没什么完全完全不相干的吧。。。
另外,谁说代数基本定理没有纯代数证明?题主还是见得太少啦,要学习一个。
代数基本定理的推广
定理 若为实闭域,, 其中, 则为代数闭域。
证明:考虑的一个有限Galois扩张, 下证. 取的Sylow-2子群, 考察; 注意到为奇数,而实闭域无奇次扩张,所以, 故为2的幂,亦然。设, 下证.
若, 由Sylow定理取的阶子群, 考察; 由且知, 其中在中无平方根,其中; 然而不难验证, 其中保证了, (实闭域中平方非负,非负数皆有平方根),矛盾!
所以, , 为代数闭域。