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泊松换元公式有直接用二重积分换元而不变为曲面积分的方法吗? 第1页

  

user avatar   unduloid 网友的相关建议: 
      

出现了“学有余力的叶同学” :-)

【2020年11月26日更新】

之前,试着用换元的方法求了,也写了一部分公式。但很遗憾的是,笔者没有解决交换积分区间的问题,而求解过程敲成公式后又不舍得扔,故想发出来,希望能为知友们提供一些思路。

【2020年12月4日更新】

笔者得出如下三条积分公式,但是证明过程中重积分上下限的确定是依赖计算机验证给出的。尽管没有想好如何确定上下限,至少找到了一个方向。

.


传统重积分计算讲究“化劲——变化的劲道”(误

1. 将重积分拆开

其中, , .

发现消不掉 ,因此考虑 在 到 而 在 到 上的二重积分。

因此,将该二重积分拆成了三个二重积分

【注】为了方便敲公式,将 换为 ,将 换为 .

上述过程利用到「辅助角公式」(并注意上式假定

2. 作变量替换

令 ,则

因为需要保证积分区域一对一映射,则将 的积分区域拆成多段来讨论。

① 当 ,则 ,即 ;

② 当 ,则 ,即 ;

③ 当 ,则 ,即 .

【注】上述区间为有向区间 .

因此

其中应用了如下变换

3. 计算 I₁

3.1 代入化简

利用关于 的变量替换,可得

3.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,

进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号

值得注意的是,变量 的范围不再是0到(π/2)了。

再确定变量的范围

注意,范围不是通过不等式变形得到的,而是直接带端点值得到的

记 ,并给出端点值

因此

4. 计算 I₂

4.1 代入化简

利用关于 的变量替换,可得

4.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,

进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号

也给出端点值

因此

5. 计算 I₃

5.1 代入化简

利用关于 的变量替换,可得

5.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,

进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号

因此

.

5. 合体

将所得公式相加,有

完结撒花!

总算告一段落了,但是需要注意的是,最初我们利用辅助角公式汉化简时作出了一些假定。

比如假定 .




  

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