出现了“学有余力的叶同学” :-)
【2020年11月26日更新】
之前,试着用换元的方法求了,也写了一部分公式。但很遗憾的是,笔者没有解决交换积分区间的问题,而求解过程敲成公式后又不舍得扔,故想发出来,希望能为知友们提供一些思路。
【2020年12月4日更新】
笔者得出如下三条积分公式,但是证明过程中重积分上下限的确定是依赖计算机验证给出的。尽管没有想好如何确定上下限,至少找到了一个方向。
.
传统重积分计算讲究“化劲——变化的劲道”(误
其中, , .
发现消不掉 ,因此考虑 在 到 而 在 到 上的二重积分。
因此,将该二重积分拆成了三个二重积分
【注】为了方便敲公式,将 换为 ,将 换为 .
上述过程利用到「辅助角公式」(并注意上式假定 )
令 ,则
记
因为需要保证积分区域一对一映射,则将 的积分区域拆成多段来讨论。
① 当 ,则 ,即 ;
② 当 ,则 ,即 ;
③ 当 ,则 ,即 .
【注】上述区间为有向区间 .
因此
其中应用了如下变换
利用关于 的变量替换,可得
为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,
进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号
记
与
值得注意的是,变量 的范围不再是0到(π/2)了。
再确定变量的范围
注意,范围不是通过不等式变形得到的,而是直接带端点值得到的
记 ,并给出端点值
因此
利用关于 的变量替换,可得
为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,
进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号
记
也给出端点值
因此
利用关于 的变量替换,可得
为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间,
进行区间拆分可得 ,并给出一些简记符号
因此
.
将所得公式相加,有
完结撒花!
总算告一段落了,但是需要注意的是,最初我们利用辅助角公式汉化简时作出了一些假定。
比如假定 .