说数学是「自洽」的是什么意思？ 第1页

自洽应该就是 self-consistent，在不考虑别的东西的时候，说一个东西是自洽的就是说这个东西是一致的（consistent），在考虑两个公理系统的时候则有可能出现虽然两个公理系统各自自洽，但是放在一起不一致的情形。在不区分证明论和模型论视角，或者说，有完全性定理的时候，一致的和融贯的（coherent）是一回事，但是具体表述上是不同的：

• 说一个（公理）系统是一致的，就是说对于任意一个系统中的命题，如果这个系统能够证明出，那么它就证明不出。说一个公式集合是一致的，就是说对于任意的这个公式集合不能同时推出和。
  
• 说一个（公理）系统是融贯的，就是说这个系统有模型，也就是说，存在一个模型使得这个系统中的定理全部都是真的。或者说，存在一个模型使得这个系统中的公理全都是真的，而推理规则全都是保真的。说一个公式集合是一致的，就是说存在一个模型使得这个公式集合中的所有公式在这个模型中都得到满足/为真。

模型的概念在模型论里面有专门的定义，但是基本上可以做一个简单的理解，比如说三维线性空间加上标准度量是欧几里得几何公理系统的一个模型。宇宙本身加上什么作为度量是黎曼几何的一个模型。自然数是皮亚诺公理的一个模型。

另外，算术系统的一致性是不能证明的，我们只是相信它是一致的，但是也没有人会去相信算术系统是不一致的。其它东西都能还原为算术系统，毕竟我们有哥德尔编码。