为什么群元素要相乘，而不是其他运算呢？ 第1页

不用，那个所谓乘法你叫加法也行，叫魔法也行，叫吸星大法也行。

这就是数学这种形式科学和自然科学的区别了。数学处理的对象，不必有实际内容，不必有物理对应，只要满足给定的规则就行。所以某种意义上数学处理的是“模式”，不是实体。具体到群论的例子，满足结合律的可逆的二元运算都可以算群运算，都可以构成一个群——“可逆”这个条件非常重要，他同时包含了单位元的存在性和每个元素都可逆。不管你是GL(n)的矩阵乘法，还是有限个元素的置换，还是模n的算术，都可以放在这个统一的框架里处理。至于这个运算叫“加法”还是“乘法”还是“映射复合”还是“基本群里两条路径的拼接”，这都不重要，重要的是，这个运算满足群运算公理，那么群的性质，他就应该自动满足（这个信心来自于逻辑，而不是经验）。

引用一下希尔伯特的一句话吧，可惜原始表述我不记得了。。大意是说，在几何学公理中，即使我们把直线、平面换成苹果、香蕉，表达的意思在数学上也相同。比如“通过两点有且只有一条直线”这条公理，我们如果表述成“对于两个不同的苹果，存在唯一一根香蕉与他们相关联”，在逻辑结构上也是一样的。我们不关心什么是“点”，什么是“直线”，我们只关心点和直线应该满足什么样的逻辑关系。