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请问数学里组合数的对称性不用公式推导应怎样理解? 第1页

  

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谢邀。


答:被选择与未被选择,是一一对应的关系。或者说,选择的本质是排除。


解释:组合数C(n,m),从n个元素中选取m个元素的方案数。用集合的方式去描述的话,也就是说,元素个数为n的集合S,共有多少个元素个数为m的子集T,我们将这个数目设为a。我们将选取的子集T的所有方案列出,

T₁ ↔︎ S-T₁

T₂ ↔︎ S-T₂

Tₐ ↔︎ S-Tₐ

容易发现,每个子集T都会有一个它的补集S-T与之对应,反过来讲,S-T的补集也是T,于是两者形成一一映射的关系,于是两者数目相等且为a。而C(n,n-m)描述的正是S-T,即选取n-m个元素的子集的方案数。

综上,C(n,m)=C(n,n-m).




  

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