10/89 小数部分前 5 位可以构成斐波那契数列，这是一种巧合吗？ 第1页

有趣的问题

下面，我会尽量用比较通俗的语言给大家说明 和斐波那契数列这两个看上去牛马不相及的东西之间有什么内在联系。

首先，我们注意到： ，非常“巧合”的是11235这五位恰好是斐波那契数列的前五项，但从第六项开始，后面的顺序就完全乱了。

但我觉得，就算第六项不乱第七项也肯定会乱，毕竟斐波那契数第七项是 ，是绝对绝对不可能直接放到一个格子里的，思来想去，如果 真的和斐波那契数列有什么关系，之所以没办法在这直观的显示出来，肯定是由于十进制的局限性！

那……这究竟是一个巧合还是我们所使用的十进制的缺陷？

我们不妨用另一种方式来看待这个数列，以此来摆脱我们熟悉的进制的问题

首先，我们不妨先列出斐波那契数列的前几项：

为了避免进制的局限性，我们用一种更自然的方式将它们列出来：

这样排列你们可不可以理解我的意思，简单地说，就是以每项斐波那契数列的个位为基准，每次向后移动一格，或者简单来说就是让所有个位数字在一条线上：

那这样摆有什么好处呢？

哈哈，好处就是你试试这样把它加起来：

来来来，咱们再对比一下：

好了，我们破案了，这一切不是巧合，都是因为我们的进制在搞怪，主要是在十进制下，每一格所能包含的数字太少了，只有十个，所以若某一项数字超出了，就不得不挤到上一位数字的位置了，导致了乱序。如果人类使用的是二十进制，那 的前六项都与斐波那契数列相同，如果是五十进制，一百进制，相同的位数会更多！

不过，数学可不是发现问题就可以了，在没有证明以前这一切最多算猜想，我们不妨简单证明一下这个猜想是否真实。

首先，我们不妨假设数列 为斐波那契数列。

斐波那契数列的通项公式是比较容易求得的：

（这个地方我是真的觉得没必要写求法，不过如果真的不会，请在评论区留言，留言够多的话，我就单独写一下求通项的完整步骤）

为了方便书写，不妨假设：

（知乎敲公式也是很累的，体谅一下……）

则 ，

下面我们证明斐波那契数列按照我们最初的排列方式和 有关，

首先我们应该明白，将一个数字往后移动一位就相当于给那个数字乘以 ，也就是 。

既然每一位都在前一项的基础上往后移动一位，那么每一项都要在前一项的基础上再乘以一个 ，也就是： 。

如果我们这个猜想是对的，上式的结果应该是 （想想为什么），总而言之，为了与上文连贯，我们不妨在前面整体乘以 。

不妨令

即：

其实这个 看起来一长串，有点唬人，事实上也就是个等比数列求和，还是高中知识。

将 重新代入，可得：

这也就证明了我们的猜想。

其实本来到这里这篇回答也就结束了，不过我还想说个故事。

有关 和斐波那契数列的关系，我早在高二的时候就曾在张景中院士的一本书上看过，但这本书中并没有告诉你如何证明。

直到到了大学，我偶然回想起这个问题，才突然意识到这不过是一个简简单单的求极限问题，然后一举证明了它。

后来有一次，在一个机缘巧合下，我和我一个朋友聊起这个问题，关于为什么是 这件事展开了讨论。

她章口就来：“我感觉是十进制里， 这样排列的缘故。”

作为一名已经把数学当坐科学的人，我自然是对这种莫名其妙的说法嗤之以鼻，不过经过我随便的用八进制，十六进制试了一下，发现好像就是这么一回事……

然后，我仔细算了一下……

发现好像真的是这么一回事……

虽然她是猜的，但居然真的猜对了，为什么我没有这种直觉……

我最后得出的结论是：若在 进制下（ 是大于等于 的正整数），则斐波那契数列按照本问题下对应的数字是：

即：

也就是说，在九进制中就是 （注意，这是九进制中的运算！）

十进制时恰好是： 。

更新：

看了一下其他答主的回答，很多大佬都提到了这样一个式子：

我不知道你们是怎么看待这个等式的，不过如果你观察的仔细一点的话，令等式两边的 , 则：

也就是说： ，即： 。

和我想表达的是同一个意思。

再次更新：

感谢评论区大佬 @Daniel Ying的评论，她提醒我这个结论不仅可以往 进制方向推广，还可以从斐波那契数列推广！

什么意思呢？

为了更好的解释，我们不妨对斐波那契数列进行一次推广：

例如 这种首项为 ，每项为前一项之和的数列我们叫它一阶斐波那契数列，不妨记作 。

例如 这种首项为 ，每项为前两项之和的数列我们叫它二阶斐波那契数列，不妨记作 。

例如 这种首项为 ，每项为前三项之和的数列我们叫它三阶斐波那契数列，不妨记作 。

更一般的，例如 这种首项为 ，每项为前 项之和的数列我们叫它 阶斐波那契数列，不妨记作 。

更简单的说，就是定义数列 ，其中：

PS：我们规定 。

通过观察，对于一阶斐波那契数列：

对于二阶斐波那契数列，我们已经计算过了：

于是我们猜想是否对于三阶斐波那契数列，是否会有：

？

或者更一般的是否会有：

？

当然啦，我不会证明，还是这位大佬告诉了我证法（再次给这位小哥哥点赞） ：

简单说就是，我们要证：

即证：

简单通分一下，我们得到：

（因为式子有点长，只能分开写了）

比较两边，可得：

这就是我们关于 阶斐波那契数列 的定义，得证！

再一般的，将之前证明中的 换成大于等于 的正整数 ，我们可以得到一个最最基本的结论：

在 进制中，关于 阶斐波那契数列 ，我们有：