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1²+2²+…+n²求和公式的推导有哪些方法? 第1页

  

user avatar   badvortex 网友的相关建议: 
      

你们都太高端了,我来一个小学生解法

只需利用立方体的顶点,即可得出 的求和公式!


首先,你要想象出这样一层层叠起来的正方形,每 层的彩色点点数是 :

这样,求 的问题就被转化成了求这些彩色点点总数量

现在,把刚刚的那个图形,放进这样一个立方体中,它的每个面都被切成 n 份

不难看出,彩色点点都包含在一个四棱锥中:

我们知道,四棱锥的体积是立方体的 [1]

但是,彩色点点的总数量显然不是

为什么呢,因为三个这样的四棱锥组成立方体的时候,有重叠的部分

选择 a、b、c 为三个三角锥的底面观察,不难看出,重叠的部分应当是如图三个三角形面(黄绿蓝)和一条公共边(红)

显然,三角形中包含的彩色点点的总数量,是 ,这是一个特别的等差数列,我们小学就知道它的求和公式为“首项加末项乘以项数除以二”,所以每个三角形中包含的彩色点点数为

然后,还需要减掉一条公共边上的彩色点点数

所以重叠部分应当是

所以,图中彩色点点的总数量应该是:

怎么样,是不是非常简单呢?

结论就是:

看完的奖励看自拍:

虽然解法很简单,但画图挺费时间的,觉得有趣的记得赞和关注哦~

恶老师会经常用简单通俗的方式数学问题哦~(胎动+++)




很快啊,评论区就要求推广到高维了……

显然,我们画不出高维立体图形

但我们依旧有简单的办法得出 的求和公式


先从 开始

显然,

并且 的求和公式应该包含 ,即最高指数比 3 多 1


综上,我们不妨列出这样一系列式子:

……

把以上式子全部加在一起(胎动+++),可以得到:

移项可得:

再代入之前已知的

你就可以得到 的求和公式了,这个我就不写了

接下来,我们休息片刻,然后推导指数为 的通式

好了,我们继续

观察前面 求和公式推导的过程

并结合二项式定理

(其中 为组合数,公式为 )


我们不难得出 :

好了,就是它没错

可能看起来有点恐怖(creepy),但其实很好理解,分成这样四部分看就好了:

有了这个递推公式,你可以自己套娃手算,也可以编一个套娃程序,从 开始循环计算,一直算到 ,就可以得到任意 的求和公式


终于写完了,公式太长,排版排得我眼都花了,比较粗心,如果有什么错误欢迎指出,感谢!

其实本文一开始只有小学生解法,谁知道分分钟评论区就要求扩展到高维,所以又花时间写了后面的内容

看到大家如此好学,还是那句老话:

所以,如果恶老师欣慰你也欣慰的话,建议你关注+点赞+评论,感谢~

参考

  1. ^ 看到评论区对这个 1/3 有质疑,说是要先有平方和公式再有这个 1/3,认为我在循环论证 我解释下 1. 这里体积 1/3,是出于立方体这个特殊情况得出的;因为立方体可以用对角线轻易均分为三等份,(其中一份就是图中黄色的四棱锥),这三等份的相等,只需通过立方体边长和角的全等就可以来证明,不需要用平方和公式,不需要微积分,因为这里用的是特殊的立方体,不是一般的柱体,所以绝不存在循环论证 2.如果执意觉得有问题,请直接跳到本文后半部分,不需要用到这个体积公式,只需要二项式定理就可以了

user avatar   flyhaha 网友的相关建议: 
      

没有人用数形结合吗,一看就明白了。




  

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