你们都太高端了,我来一个小学生解法:
只需利用立方体的顶点,即可得出 的求和公式!
首先,你要想象出这样一层层叠起来的正方形,每 层的彩色点点数是 :
这样,求 的问题就被转化成了求这些彩色点点总数量
现在,把刚刚的那个图形,放进这样一个立方体中,它的每个面都被切成 n 份
不难看出,彩色点点都包含在一个四棱锥中:
我们知道,四棱锥的体积是立方体的 [1]
但是,彩色点点的总数量显然不是
为什么呢,因为三个这样的四棱锥组成立方体的时候,有重叠的部分
选择 a、b、c 为三个三角锥的底面观察,不难看出,重叠的部分应当是如图三个三角形面(黄绿蓝)和一条公共边(红):
显然,三角形中包含的彩色点点的总数量,是 ,这是一个特别的等差数列,我们小学就知道它的求和公式为“首项加末项乘以项数除以二”,所以每个三角形中包含的彩色点点数为
然后,还需要减掉一条公共边上的彩色点点数
所以重叠部分应当是
所以,图中彩色点点的总数量应该是:
怎么样,是不是非常简单呢?
结论就是:
看完的奖励看自拍:
虽然解法很简单,但画图挺费时间的,觉得有趣的记得赞和关注哦~
恶老师会经常用简单通俗的方式数学问题哦~(胎动+++)
很快啊,评论区就要求推广到高维了……
显然,我们画不出高维立体图形
但我们依旧有简单的办法得出 的求和公式
先从 开始
显然,
并且 的求和公式应该包含 ,即最高指数比 3 多 1
综上,我们不妨列出这样一系列式子:
……
把以上式子全部加在一起(胎动+++),可以得到:
移项可得:
再代入之前已知的
你就可以得到 的求和公式了,这个我就不写了
接下来,我们休息片刻,然后推导指数为 的通式
好了,我们继续
观察前面 求和公式推导的过程
并结合二项式定理:
(其中 为组合数,公式为 )
我们不难得出 :
好了,就是它没错
可能看起来有点恐怖(creepy),但其实很好理解,分成这样四部分看就好了:
有了这个递推公式,你可以自己套娃手算,也可以编一个套娃程序,从 开始循环计算,一直算到 ,就可以得到任意 的求和公式
终于写完了,公式太长,排版排得我眼都花了,比较粗心,如果有什么错误欢迎指出,感谢!
其实本文一开始只有小学生解法,谁知道分分钟评论区就要求扩展到高维,所以又花时间写了后面的内容
看到大家如此好学,还是那句老话:
所以,如果恶老师欣慰你也欣慰的话,建议你关注+点赞+评论,感谢~
没有人用数形结合吗,一看就明白了。