问一道概率题？ 第1页

【附】评论区说这是高考题。我查了以下高考题：

但题主的题目是这样：

原高考题是累计输两场就退出了，题主是两连败才退出，可见是不同的问题。

累计输两场，肯定有限次操作以后就结束了，所以只需要有限求和。

两连败，必然会涉及无限和。（比如每个人恰好轮流输，比赛就可以永远进行下去）

我下面根据的是你题目的表述“两连败”来答题，而不是根据高考题来答题。

题目理解

分两个阶段。第一阶段：三个人比赛。第二个阶段：两个人比赛（决赛圈）。

首先，由于第二个阶段只有两个人比赛，所以这里认为第二阶段不会有轮空。

其次，“二连败”理解为以下三种情况之一：

1. 在第一阶段中，某个人出现了“失败-轮空-失败”
2. 在第二阶段中，某个人出现了“失败-失败”
3. 第一阶段末尾某个人“失败-轮空”，第二阶段一开始“失败”

在上述理解下，C最终获胜的概率是

第一阶段

先从第一个阶段研究起。即先研究C进决赛圈的概率。

在一局中，以1表示胜者，-1表示败者，0表示轮空者。则前两局的局势只可能是如下四种情况之一（这四种情况等概率，从左到右分别记做 ）：

, , ,

比如我们研究 （ 的意思是，第一局A赢，第二局也A赢）。第三局有两种安排：

和

此时：

• 如果是前一种，B立即退出决赛圈（概率1/2）
• 如果是后一种，继续（概率1/2）

研究其中继续的情况。到第4局时，也有两种情况（矩阵我就不再写了，自己脑补）：

• C立即退出决赛圈（概率1/2）
• 继续（概率1/2）

事实上，有如下图：

把上图结果表示成

注意到， 进决赛圈，等价于 退决赛圈或 退决赛圈。

• 当 退决赛圈的时候（比如第5局），画一下矩阵就知道 此时（第5局）是赢的。
• 当 退决赛圈的时候（比如第3局），画一下矩阵就知道 上一局（第2局）是输的。

因此在 下，有

类似地，可以研究局面 。事实上有如下结果：

• ：

由此算得（直接写结果了，算法是一样的）：

由全概率公式，

第二阶段

现在让第二阶段C进决赛圈。只有两种情况需要考虑：

1. C最近一次赢了（画矩阵知道此时对手最近一次一定是输的）
2. C最近一次输了（画矩阵知道此时对手最近一次一定是赢的）

定性地来看，第一种情况C有利（对手再输一次C就赢了），第二次情况对C不利（自己再输一次C就出局了）。下面定量地研究。

对于第一种情况，有如下图示：

由此看出此时 最终获胜的概率

同理，如果是第二种情况（C最近一次输了），则C最终获胜的概率（图我就不画了）：

综合

按照全概率公式，