数列an（定义an为71^n）是否在an中能找到以任意长度（不小于1）个1为结尾的数（均是正整数）? 第1页

的确可以找到任意多位连号的1

因为我没学过数论，所以就直接暴力归纳，大力出奇迹。

以下按照计算机的习惯，记%为取余符号

由于现在不在家，手机码字，如果要详细证明，请等我回家。反正这些也不难证明，读者大可自行尝试

引理1：

71^250 % 10^4 == 1，且71^m % 10^4 ≠ 1（m小于250）

71^250 % 10^5 == 30001

引理1可以证，但没有必要。暴力验证它不香吗？下面是C++代码。

#include <iostream>
using namespace std;

// (a^b)%c
int modpow(int a,int b,int c)
{
int i,temp=a%c;
for(i=1;i<b;i++)
{
temp*=a;
temp%=c;
}
return temp;
}

int main(){
int i=1;
for(i=1;i<=250;i++)
{
if(modpow(71,i,10000)==1)
cout<<i<<endl;
}

return 0;
}

引理2：

由数学归纳法：

71^(25*10^m) % 10^(3+m) == 1

71^(25*10^m) % 10^(4+m) == 1+3*10^(3+m)

数学归纳法+二项式定理证明引理2是容易的，读者大可自行尝试。

事实上，引理2就保证了这的确是对的了。引理2表明：幂增加25*10^m不会改变后m+3位，加上第m+4是奇数，所以成立。

如果哪些地方要详细证明，请等我回家后再说，现在在外面吃饭，一没时间，二没电脑。